Addition von Sinusfunktionen

Addition von SinusfunktionenZur Konstruktion einer Sinusfunktion wird im Allgemeinen das Modell des Einheitskreises genutzt:

Eine kreisförmige Scheibe mit einem Radius von einer Einheit rotiert dabei gleichförmig, d.h. mit konstantem Betrag der Geschwindigkeit, um ihren Mittelpunkt. Ein Punkt P der Peripherie wird gekennzeichnet. Zu jedem Zeitpunkt wird der Drehwinkel φ dieses Punktes P gemessen und von ihm das Lot auf eine waagerechte und eine senkrechte Gerade durch den Mittelpunkt der Scheibe gefällt.

Die Länge des Lotes auf die waagerechte Achse ist per Definition der Sinus des Winkels φ, die Länge des Lotes auf die Senkrechte ist der Kosinus von φ. Trägt man nun den Winkel φ längs einer Abszisse und den Sinus längs der Ordinate ab, erhält man das bekannte Bild der Sinusfunktion.

Dieses Modell kann auf die Addition mehrerer Sinusfunktionen erweitert werden.
Dazu wird um den rotierenden Punkt P ein weiterer Punkt gedreht, um diesen noch einer usw. Der äußerste Punkt beschreibt dann mit seiner Ordinate die Funktion, die durch Addition aller Drehbewegungen entsteht.

In diesem Teilprogramm wird so die Addition mehrerer Sinusfunktionen durchgeführt.
Dabei werden die Radien der aufeinanderfolgenden Kreise i.A. verringert sowie die Drehgeschwindigkeiten; ein Maß für die Periode der Einzelfunktion; verändert.

Acht vordefinierte Fälle können an den Auswahlfeldern eingestellt werden. Am Rollbalken Termzahl wird die Anzahl der Einzelbewegungen gewählt. Läuft die Simulation ab, so werden die Drehbewegungen durchgeführt und die Gesamtfunktion gezeichnet.

Für den Fall

    \[ y = \sin{x} +\frac{1}{2}\sin{2x} +\frac{1}{3}\sin{3x}+ ... \]

kann man so auch die Entstehung einer Fourier-Summe nachvollziehen. Wird die Termzahl kontinuierlich erhöht, passt sich die Gesamtfunktion immer besser einer Dreieckskurve an.