Ägyptische Zahlen

Eine natürliche Zahl n heißt ägyptische Zahl, wenn sie als Summe der Nenner einer Zerlegung der 1 in eine Summe von Stammbrüchen dargestellt werden kann.
Zum Beispiel ist 11 eine ägyptische Zahl, da

    \[ 1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\text{ und }11 = 2 + 3 + 6 \]

Nichtägyptische Zahlen sind 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12, 13, 14, 15, 19, 21 und 23.

Eine Zahl heißt streng ägyptisch, wenn die Nenner der Stammbruchsumme aller Brüche verschieden sind. 1963 bewies Graham, dass alle natürlichen Zahlen > 77 streng ägyptisch sind. Weitere streng ägyptische Zahlen sind: 11, 24, 30, 31, 32, 37, 38, 43, 45, 50, 52 bis 55, 57, 59 bis 62, 64 bis 67, 69, 71, 73 bis 76, … Gegenbeispiele: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12.

Zahl n Nenner der Stammbrüche
11 6, 3, 2
24 12, 6, 4, 2
30 15, 10, 3, 2
31 20, 5, 4, 2
32 18, 9, 3, 2
37 24, 8, 3, 2
38 20, 6, 5, 4, 3

Besitzt ein gemeiner Bruch einen Zähler = 1, so heißt er Stammbruch. Stammbrüche wurden vor allem im antiken Ägypten zur Darstellung gebrochener Zahlen genutzt.
Durch Milo Gardner wurden Zerlegungen von Brüchen der Form 2/n in Stammbruchsummen im Papyrus Rhind gefunden. Die besten sind:

\frac{2}{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6} \frac{2}{5}=\frac{1}{3}+\frac{1}{15}
\frac{2}{7}=\frac{1}{4}+\frac{1}{28} \frac{2}{9}=\frac{1}{6}+\frac{1}{18}
\frac{2}{11}=\frac{1}{6}+\frac{1}{66} \frac{2}{13}=\frac{1}{8}+\frac{1}{52}+\frac{1}{104}
\frac{2}{15}=\frac{1}{10}+\frac{1}{30} \frac{2}{17}=\frac{1}{12}+\frac{1}{51}+\frac{1}{68}
\frac{2}{19}=\frac{1}{12}+\frac{1}{76}+\frac{1}{114} \frac{2}{21}=\frac{1}{14}+\frac{1}{42}
\frac{2}{23}=\frac{1}{12}+\frac{1}{276} \frac{2}{25}=\frac{1}{15}+\frac{1}{75}
\frac{2}{27}=\frac{1}{18}+\frac{1}{54} \frac{2}{29}=\frac{1}{24}+\frac{1}{58}+\frac{1}{174}+\frac{1}{232}
\frac{2}{31}=\frac{1}{20}+\frac{1}{124}+\frac{1}{155} \frac{2}{33}=\frac{1}{22}+\frac{1}{66}
\frac{2}{35}=\frac{1}{25}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42} \frac{2}{37}=\frac{1}{24}+\frac{1}{111}+\frac{1}{296}
\frac{2}{39}=\frac{1}{26}+\frac{1}{78} \frac{2}{41}=\frac{1}{24}+\frac{1}{246}+\frac{1}{328}
\frac{2}{43}=\frac{1}{42}+\frac{1}{86}+\frac{1}{129}+\frac{1}{301} \frac{2}{45}=\frac{1}{30}+\frac{1}{90}
\frac{2}{47}=\frac{1}{30}+\frac{1}{141}+\frac{1}{470} \frac{2}{49}=\frac{1}{28}+\frac{1}{196}
\frac{2}{51}=\frac{1}{34}+\frac{1}{102} \frac{2}{53}=\frac{1}{30}+\frac{1}{318}+\frac{1}{795}
\frac{2}{55}=\frac{1}{30}+\frac{1}{330} \frac{2}{57}=\frac{1}{38}+\frac{1}{114}
\frac{2}{59}=\frac{1}{36}+\frac{1}{236}+\frac{1}{531} \frac{2}{61}=\frac{1}{40}+\frac{1}{244}+\frac{1}{488}+\frac{1}{610}
\frac{2}{63}=\frac{1}{42}+\frac{1}{126} \frac{2}{65}=\frac{1}{39}+\frac{1}{195}
\frac{2}{67}=\frac{1}{40}+\frac{1}{335}+\frac{1}{536} \frac{2}{69}=\frac{1}{46}+\frac{1}{138}
\frac{2}{71}=\frac{1}{40}+\frac{1}{568}+\frac{1}{710} \frac{2}{73}=\frac{1}{60}+\frac{1}{219}+\frac{1}{292}+\frac{1}{365}
\frac{2}{75}=\frac{1}{50}+\frac{1}{150} \frac{2}{77}=\frac{1}{44}+\frac{1}{308}
\frac{2}{79}=\frac{1}{60}+\frac{1}{237}+\frac{1}{316}+\frac{1}{790} \frac{2}{81}=\frac{1}{54}+\frac{1}{162}
\frac{2}{83}=\frac{1}{60}+\frac{1}{332}+\frac{1}{415}+\frac{1}{498} \frac{2}{85}=\frac{1}{39}+\frac{1}{195}
\frac{2}{87}=\frac{1}{58}+\frac{1}{174} \frac{2}{89}=\frac{1}{60}+\frac{1}{356}+\frac{1}{534}+\frac{1}{890}
\frac{2}{91}=\frac{1}{70}+\frac{1}{130} \frac{2}{93}=\frac{1}{62}+\frac{1}{186}
\frac{2}{95}=\frac{1}{60}+\frac{1}{380}+\frac{1}{570} \frac{2}{97}=\frac{1}{56}+\frac{1}{679}+\frac{1}{776}
\frac{2}{99}=\frac{1}{66}+\frac{1}{198} \frac{2}{101}=\frac{1}{101}+\frac{1}{202}+\frac{1}{303}+\frac{1}{606}

Gardner vermutet, dass der ägyptische Schreiber Ahmes die Zerlegungen über

    \[ \frac{2}{pq} = (\frac{1}{q}+\frac{1}{pq})\cdot \frac{2}{p + 1} \]

gefunden hat.

Über die Zerlegungstabelle von Brüchen der Form \frac{2}{n} in Stammbrüche gelang es den ägyptischen Mathematikern, auch Brüche mit größerem Zähler in eine Summe von Stammbrüchen zu verwandeln.
Zum Beispiel wird für \frac{7}{29} mit 7 = 1 + 2 + 2 + 2:

7/29 = 1/29 + (1/24 + 1/58 + 1/174 + 1/232) + (1/24 + 1/58 + 1/174 + 1/232) + (1/24 + 1/58 + 1/174 + 1/232)
= 1/29 + 1/24 + 1/58 + 1/174 + 1/232 + (2/24 + 2/58 + 2/174 + 2/232)
= 1/29 + 1/24 + 1/58 + 1/174 + 1/232 + 1/12 + 1/29 + 1/87 + 1/116
= 2/29 + 1/24 + 1/58 + 1/174 + 1/232 + 1/12 + 1/87 + 1/116
= 1/24 + 1/58 + 1/174 + 1/232 + 1/24 + 1/58 + 1/174 + 1/232 + 1/12 + 1/87 + 1/116
= 2/24 + 2/58 + 2/174 + 2/232 + 1/12 + 1/87 + 1/116
= 1/12 + 1/29 + 1/87 + 1/116 + 1/12 + 1/87 + 1/116
= 2/12 + 1/29 + 2/87 + 2/116
= 1/6 + 1/58 + 1/174 + 1/58 + 1/29
= 2/58 + 1/6 + 1/29 + 1/174
= 1/29 + 1/6 + 1/29 + 1/174
= 2/29 + 1/6 + 1/174
= 1/24 + 1/58 + 1/174 + 1/232 + 1/6 + 1/174
= 2/174 + 1/24 + 1/58 + 1/232 + 1/6
= 1/87 + 1/24 + 1/58 + 1/232 + 1/6
= 1/6 + 1/24 + 1/58 + 1/87 + 1/232

Diese Vorgehensweise ist zwar nicht elegant, führt aber zum gewünschten Ergebnis. Beachtet man, dass dies vor mehr als 3500 Jahren gefunden wurde, kann man die ägyptischen Mathematiker nur bewundern.
Allerdings können die kürzeren Formen

    \[ \frac{7}{29}=\frac{1}{5}+\frac{1}{29}+\frac{1}{145}=\frac{1}{5}+\frac{1}{25}+\frac{1}{725} \]

nicht ermittelt werden.

Ägyptische Zerlegung einer Zahl

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Ein einfaches Programm zur Ermittlung der ägyptischen Zerlegung einer natürlichen Zahl steht hier zum Download bereit.
Den Delphi-Quelltext finden Sie unter Quelltexte.