Ähnlichkeitssätze, Kongruenzsätze am Dreieck

ÄhnlichkeitssätzeÄhnlichkeitssätze

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, d.h. sie haben die gleiche Form aber nicht unbedingt die gleiche Größe,

– wenn sie in zwei Winkel übereinstimmen (Hauptähnlichkeitssatz, WW-Theorem)

    \[ \alpha=\alpha' ; \beta=\beta' \hspace{0.5cm}und\enspace somit\quad \gamma=\gamma' \]

– wenn sie im Verhältnis der 3 Seiten übereinstimmen (sss-Theorem)

    \[ \frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'} \]

– wenn sie im Verhältnis zweier Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen (sWs-Theorem)

    \[ \frac{a}{a'}=\frac{b}{b'} \quad ; \quad \gamma=\gamma' \]

– wenn sie im Verhältnis zweier Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen (ssW-Theorem)

    \[ \frac{a}{a'}=\frac{b}{b'} \quad ; \quad \alpha=\alpha' \quad oder \quad \beta=\beta' \]

Ist der kleinere Winkel gegeben, so existiert ein zweites Dreieck, für dass zwar \frac{a}{a'}=\frac{b}{b'} und \alpha=\alpha' bzw. \beta=\beta' gilt, das aber nicht zum anderen Dreieck ähnlich ist.

Diese 4 Bedingungen werden als die Ähnlichkeitssätze bezeichnet. In diesem Teilprogramm werden diese Sätze demonstriert.

Nach dem Start finden Sie im Darstellungsbereich zwei zueinander ähnliche Dreiecke ABC und A’B’C’. Die Eckpunkte A, B, C des Ausgangsdreiecks und den Punkt A’ des ähnlichen Dreiecks können sie mit der Maus verschieben. Am Rollbalken Faktor stellen Sie den Ähnlichkeitsfaktor bzw. Streckungsfaktor ein.

Je nach Wahl des Satzes von WW, sss, sWs bzw. ssW werden die entsprechenden Größen hervorgehoben und mit ihrem Wert angezeigt. Haben Sie das Feld Ähnlichkeitszentrum markiert, so zeichnet das Programm den Punkt Z ein, von dem aus Dreieck ABC auf A’B’C’ gestreckt wird. Ist der Faktor gleich 1, so sind beide Dreiecke kongruent und Z befindet sich im „Unendlichen“.

Besonders interessant ist der 4.Fall, d.h. beide Dreiecke stimmen im Verhältnis zweier Seiten und einem Gegenwinkel übereinstimmen (ssW-Theorem). Liegt dieser Gegenwinkel tatsächlich der größeren Seite gegenüber, so erhalten Sie ein eindeutig ähnliches Dreieck.

SonderfallAnders wird es, wenn der Winkel nicht der größeren Seite gegenüberliegt. In diesem Fall existiert ein zweites Dreieck A’B’C2, dass zwar die gleichen Seitenverhältnisse und einen gleichen Winkel besitzt, aber dennoch nicht ähnlich ist. Dieses zweite Dreieck wird eingezeichnet.

Im Beispiel beträgt das Seitenverhältnis 0,93 und der Gegenwinkel α = 36°. Da aber die Seite c größer ist als a, ist auch γ > α und es existiert ein zweites, nicht ähnliches Dreieck. Der Ähnlichkeitssatz ssW gilt nicht!

Kongruenzsätze
Im zweiten Teilprogramm werden die Kongruenzsätze am Dreieck vorgestellt.
Zwei Dreiecke sind Dreiecke sind kongruent,
– wenn sie in drei Seiten übereinstimmen (SSS)
– wenn sie in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen (SWS)
– wenn sie in einer Seite und den anliegenden Winkeln übereinstimmen (WSW)
– wenn sie in zwei Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen (SSW)

Den entsprechenden Kongruenzsatz wählen Sie an den Auswahlfeldern.
Die Eckpunkte A, B, C des Ausgangsdreiecks und den Punkt A’ des kongruenten Dreiecks können sie mit der Maus verschieben.