Affine Abbildungen

Affine AbbildungenBerechnung von Polygonen

Das Programm ermöglicht Ihnen unter diesem sehr komplexen Teilprogramm die Berechnungen an Polygonen (Dreieck bis 10-Eck), d.h., nach der Eingabe der kartesischen Koordinaten der Eckpunkte die Fläche, den Umfang sowie die Koordinaten des Ecken- bzw. Flächenschwerpunktes zu berechnen sowie die affine Abbildung der Polygone in der Ebene, rechnerisch wie auch grafisch.

Zur Berechnung eines N-Ecks tragen Sie in die Tabelle der linken Fensterseite die Koordinaten der Punkte A bis maximal J ein. Klicken Sie auf den Schalter Berechnung, wird das Fenster der grafischen Darstellung aus- und eine Liste der Berechnungsergebnisse eingeblendet.

PolygonIst das Polygon konvex oder konkav, ist die Ermittlung des Flächenschwerpunktes möglich. Ist das N-Eck überschlagen, d.h. zwei Seiten kreuzen sich, ist die Ermittlung nicht möglich.

Beispiel: Für die Eckpunktkoordinaten (1;1), (2;3), (3;0), (2;0) und (0;0) entsteht ein konkaves Fünfeck mit den Werten: Flächeninhalt = -4, Umfang = 9.8126, Eckenschwerpunkt bei (1.6 ; 0.8) und Flächenschwerpunkt bei (1.75 ; 0.958).

Negativer Flächeninhalt bedeutet, dass die Reihenfolge der Punkte entgegen der mathematisch positiven Richtung eingegeben wurden – in Uhrzeigerrichtung. Wählen Sie den Schalter Darstellung, stellt das Programm das N-Eck dar.

Affine Abbildungen in der Ebene

Unter einer affinen Abbildung versteht man jede Bewegung von Punkten, die folgende Kriterien erfüllen:

  • Geraden bleiben Geraden
  • Parallelität bleibt erhalten
  • Teilverhältnisse bleiben erhalten

Zu diesen Abbildungen gehören die allgemein bekannten Abbildungen in der Ebene: Drehung, Punkt- und Geradenspiegelung, Streckung, Scherung …

In diesem Teilprogramm können Sie diese Bewegungen untersuchen. Dabei ist das Programmfenster in drei Bereiche eingeteilt: Rechts finden Sie die Möglichkeit zur Festlegung der Abbildung, in der Mitte die Darstellungsfläche bzw. einschaltbar die Berechnungsergebnisse und links Möglichkeiten zur Steuerung der Darstellung.

Festlegung der affinen Abbildungen
Sie können wählen zwischen: Verschiebung, Geradenspiegelung, Punktspiegelung, Streckung, Drehung, Drehstreckung, Scherung an der x-Achse, allgemeine affine Abbildung, allgemeine Scherung

Klicken Sie auf eine dieser Bewegungen in der Bewegungsauswahl-Liste, so müssen Sie die Parameter der Abbildung eintragen. Nach der Eingabe bestätigen Sie mit dem Schalter Bewegung übernehmen, wodurch selbige in die linke Bewegungsliste aufgenommen wird. Festzulegen sind:

  • Verschiebung … Die Einheiten der Verschiebung in x- und y-Richtung
  • Geradenspiegelung … Zwei Endpunkte P und Q der Spiegelgeraden
  • Punktspiegelung … Die Koordinaten des Spiegelpunktes S
  • Streckung … Die Koordinaten des Streckungszentrums P und der Streckungsfaktor
  • Drehung … Das Drehzentrum P und der Drehwinkel in Grad; Drehungen werden in mathematisch positiver Richtung, also entgegen der Uhrzeigerrichtung gezeichnet
  • Drehstreckung … Das Drehzentrum P, der Drehwinkel in Grad und der Streckungsfaktor
  • Scherung an der x-Achse … Der Scherungsfaktor s, der den Scherungswinkel α durch s = tan α charakterisiert
  • Affine Abbildung … Die Koeffizienten der Abbildungsmatrix; eine affine Abbildung wird beschrieben durch

        \[ \left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}e\\f\end{array}\right) \]

    , wobei x, y die Ausgangskoordinaten und x‘ und y‘ die Bildkoordinaten sind

  • Scherung, allgemein … Der Scherungswinkel in ° und die Eckpunkte einer Geraden, welche die Scherungsrichtung angibt

Nach der Eingabe der Bewegungen können Sie den rechten Eingabebereich auf Wunsch auch ausblenden bzw. wieder sichtbar machen.

Darstellung der affinen Abbildungen
Vor der Anwendung der Abbildungen müssen Sie die Koordinaten des zu transformierenden Polygons in Punktkoordinaten eintragen. Dabei ist auch die Eingabe eines einzelnen Punktes möglich. Ein Klick auf den Schalter Darstellung zeigt Ihnen das N-Eck an.

Markieren Sie nun in der linken Bewegungsliste eine festgelegte Abbildung und quittieren mit Darstellung, wird das Polygon entsprechend abgebildet. Mit dem Feld Hilfslinien werden vom Originalpunkt zum Bildpunkt Hilfslinien gezeichnet. Markieren Sie farbige Polygone, werden die N-Ecke farbig ausgefüllt, andernfalls durchsichtig gezeichnet. Mittels Schalter können Sie die Größe des Darstellungsintervalls einstellen.

Da Sie mehrere affine Abbildungen definieren und ausführen können, ist eine Nacheinanderausführung mehrerer Abbildungen möglich.

Berechnung der affinen Abbildungen
Die Auswahl des Schalters Berechnung blendet die grafische Darstellung aus und eine Tabelle der Berechnungsergebnisse ein. In dieser Liste finden Sie neben den oben beschriebenen allgemeinen Berechnungen die Koordinaten der Ausgangspunkte und deren Ergebnisse bei den Bewegungen. Wichtig ist, dass nur diejenigen affinen Abbildungen berechnet werden, die in der Bewegungsliste auch markiert sind.

Erklärung der Affinen Abbildung
Jede Bewegung eines geometrischen Gebildes, sei es eine Drehung, eine Verschiebung, eine Spiegelung oder eine Scherung, kann als affine Abbildung der Ebene auf sich selbst interpretiert werden. Eine derartige affine Abbildung kann analytisch in der Form \left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}e\\f\end{array}\right) beschrieben werden, wobei x, y die Koordinaten des Originals, x‘ und y‘ die Koordinaten des Bildpunktes sind. Die Matrix beschreibt die Transformation der Koordinaten, der Spaltenvektor eine zusätzliche Verschiebung des Gebildes in der Ebene. Beispiele für Abbildungsmatrizen sind:

Identische Abbildung \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} Achsenspiegelung \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix}
Punktspiegelung \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} Drehung \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}
Zentrische Streckung \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \\ \end{pmatrix} Schrägspiegelung \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix}

Über die Liste Transformationen können Sie neun Grundtransformationen aufrufen und in die Eingabefelder eintragen lassen. Zu diesen affinen Abbildungen gehören:

  • Identische Transformation … Original und Bild sind identisch
  • Skalierung in x-Richtung … Stauchung oder Streckung in x-Richtung, voreingestellter Faktor 3
  • Skalierung in y-Richtung … Stauchung oder Streckung in y-Richtung, voreingestellter Faktor 3
  • Skalierung in x-y-Richtung … Stauchung oder Streckung sowohl in x- als auch in y-Richtung, voreingestellte Faktoren 2 und 3
  • Spiegelung an der x-Achse … Spiegelung des Gebildes an der x-Achse
  • Spiegelung an der y-Achse … Spiegelung des Gebildes an der y-Achse
  • Spiegelung am Koordinatenursprung … Spiegelung des Gebildes nacheinander an der x-Achse und y-Achse
  • Rotation mit 90° um Ursprung … Drehung des Gebildes um 90° in mathematisch positiver Richtung um den Koordinatenursprung (0;0)
  • Rotation mit 45° um Ursprung … Drehung des Gebildes um 45° in mathematisch positiver Richtung um den Koordinatenursprung (0;0)
  • Scherung x-Achse … Scherung in Richtung der x-Achse, voreingestellter Wert 2
  • Scherung y-Achse … Scherung in Richtung der y-Achse, voreingestellter Wert 2