Analytische Geometrie der Ebene

Analytische GeometrieIn diesem Teilprogramm können Sie im Rahmen der analytischen Geometrie der Ebene Punkte, Geraden und Kreise berechnen und grafisch veranschaulichen.

Das Programmfenster ist in drei Abschnitte untergeteilt: Rechts finden Sie den Bereich zur Auswahl und Festlegung der geometrischen Gebilde, in der Mitte den Darstellungs- und Berechnungsbereich und links Steuerelemente für die Darstellung und Auswertung.

Objektauswahl
Zur Untersuchung können Sie folgende geometrische Gebilde definieren:

  • Punkt … Koordinaten x,y eingeben
  • Gerade (2 Punkte) … zwei Punkte der Geraden festlegen
  • Gerade (Punkt-Richtung) … einen Punkt und Richtungsvektor festlegen
  • Gerade (Punkt-Anstieg) … einen Punkt und Anstieg m angeben
  • Gerade (Y=M*X+N) … Anstieg m und Verschiebung n auf der y-Achse angeben
  • Gerade (Normalform) … Ortsvektor eines Punktes und einen Normalenvektor angeben
  • Dreieck … drei Dreieckspunkte festlegen
  • Kreis (Punkt-Radius) … Mittelpunkt und Radius festlegen
  • Kreis (3 Punkte) … drei Punkte auf der Kreisperipherie festlegen
  • Kreis (Koordinatenform) … Parameter a, b und c der Gleichung X² + Y² + aX + bY + c = 0 festlegen

Nach Eingabe der jeweiligen Stücke übernehmen Sie diese durch einen Klick auf den Schalter Objekt übernehmen in die Objektliste.

Berechnung der geometrischen Gebilde
Enthält die Objektliste definierte Punkte, Geraden bzw. Kreise, so können Sie diese über den Schalter Berechnung rechnerisch auswerten.
Dazu ermittelt das Programm für jedes Objekt Eigenschaften, aber auch für je zwei Objekte Beziehungen zwischen diesen. Zum Beispiel wird jeder definierte Punkt mit einem eingegebenen Kreis betrachtet und Folgendes berechnet:

  • die Lage des Punktes P zum Kreis
  • liegt P außerhalb, die Gleichungen der Tangenten von P an den Kreis
  • die Berührungspunkte dieser Tangenten
  • die Lage der Geraden g zum Kreis
  • gegebenenfalls die Schnittpunkte bzw. der Berührungspunkt

Beispiel: Für einen Kreis mit dem Mittelpunkt M(-1;2), einem Radius von 5 und dem Punkt P(6;1) ermittelt das Programm:

  • P liegt außerhalb des Kreises
  • die Tangenten von P an den Kreis sind 4x+3y=27 und 3x-4y=14
  • die Tangenten berühren den Kreis in (3;5) und (2;-2)

Für eine weitere Gerade g mit dem Stützvektor (0;1) und dem Richtungsvektor (1;4) ergibt sich, dass sie den Kreis in den Punkten (-1;-3) und (1.353;6.412) schneidet.
Die Besonderheit besteht darin, dass jede mögliche Kombination betrachtet wird. Haben Sie zum Beispiel fünf Objekte in der Objektliste definiert, so erhalten Sie Aussagen über jedes dieser Objekte und weiterhin über jedes mögliche Paar, d.h. zehn Beziehungen.

Eine Besonderheit ergibt sich bei der Untersuchung eines Punktes und eines Kreises. Liegt der Punkt außerhalb des Kreises, so können zwei Tangenten an den Kreis gelegt werden. Diese Tangenten werden berechnet. Möchten Sie diese Tangenten aber auch in der grafischen Darstellung sehen, so müssen sie in der Objektliste vorhanden sein. Dies erreichen Sie, in dem Sie das Schaltfeld Kreistangenten eintragen markieren. Berechnet das Programm nun eine Kreistangente, so wird diese automatisch in die Objektliste übernommen.

Wählen Sie den Schalter Darstellung, werden die ermittelten Werte innerhalb eines Koordinatensystems dargestellt.