Analytische Geometrie im Raum

Analytische Geometrie im RaumIn diesem Teilprogramm können Sie im Rahmen der analytischen Geometrie des Raums Punkte, Geraden, Ebenen und Kugeln berechnen und grafisch veranschaulichen.

Die Grundlagen der modernen analytischen Geometrie wurden von Pierre de Fermat (Behandlung von geometrischen Problemen mit analytischen Ausdrücken; 1601-1665), von René Descartes (kartesische Koordinaten; 1596-1650) und von Blaise Pascal (Theorie der Kegelschnitte; 1623-1662) gelegt.

Das Programmfenster ist in drei Abschnitte eingeteilt. Rechts finden Sie den Bereich zur Auswahl und Festlegung der geometrischen Gebilde, in der Mitte den Darstellungs- und Berechnungsbereich und links Steuerelemente für Darstellung und Auswertung.

Objektauswahl
Zur Untersuchung können Sie folgende geometrische Gebilde definieren:

  • Punkt … Angabe der Koordinaten x, y und z des Punktes
  • Ebene … Festlegung durch 3 Punkte, einen Punkt und zwei Spannvektoren, in Koordinatenform oder in Hessescher Normalenform (Orts- und Normalenvektor)
  • Dreieck … Festlegung durch die 3 Eckpunkte
  • Kugel … Festlegung durch Mittelpunkt und Radius oder durch 4 auf der Kugelperipherie liegende Punkte
  • Spat und ebenes Viereck … Festlegung durch 4 Punkte im Raum
  • Dreiseitige Pyramide … Festlegung durch die Koordinaten der vier Eckpunkte

Nach Eingabe der jeweiligen Stücke übernehmen Sie diese durch einen Klick auf den Schalter Objekt übernehmen in die Objektliste.

Enthält die Objektliste definierte Punkte, Geraden, Ebenen usw., so können Sie diese über den Schalter Berechnung rechnerisch auswerten. Dazu ermittelt das Programm für jedes Objekt Eigenschaften, aber auch für je zwei Objekte Beziehungen zwischen diesen.

Punkte im Raum
Definieren Sie einen Punkt über die Angabe seiner Koordinaten, ermittelt das Programm:

  • den Abstand des Punktes vom Ursprung
  • die Richtungswinkel des Punktes in Bezug auf die drei Koordinatenachsen

Haben Sie gleichzeitig eine Gerade oder eine Ebene festgelegt, so erhalten Sie außer dem Abstand des Punktes zu dem anderen Objekt auch den Lotfußpunkt des Punktes auf die Gerade oder Ebene.

Geraden im Raum
Sie können zwei Geraden definieren und deren Lage zueinander bzw. zum Koordinatenursprung untersuchen. Nach Eingabe der entsprechenden Werte ermittelt das Programm:

  • die jeweils andere Form der Geradendarstellung, d.h. die Punktrichtungsform oder die Koordinaten von zwei Punkten der Geraden
  • die Lagebeziehung der Geraden, d.h. ob
    • die Geraden sich schneiden, Schnittpunkt und Schnittwinkel werden berechnet
    • die Geraden identisch sind
    • die Geraden parallel sind (der Abstand des Punktes C von der Geraden g gibt dann den Abstand beider Geraden voneinander an) oder
    • die Geraden im Raum windschief zueinander liegen (im letzten Fall ermittelt das Programm den kürzesten Abstand der beiden Geraden zueinander)
  • die Abstände beider Geraden zum Ursprung
  • den Abstand des Punktes A von B und C
  • einen Normalvektor, der sowohl auf der Geraden g als auch auf h senkrecht steht

Für die Aufgabe, den Abstand eines Punktes von einer Geraden zu bestimmen, bestimmt das Programm auch den Abstand des Punktes C von der Geraden 1. Liegt eine Gerade nicht parallel zu einer der Koordinatenebenen, so durchstößt die Gerade alle drei Ebenen. Für beide Geraden erhalten Sie die Spurpunkte (Durchstoßpunkte) Dxy, Dxz und Dyz.

Ermittelt das Programm, dass die beiden Geraden windschief zueinander sind, so kann deren minimaler Abstand errechnet werden. Dieser Abstand tritt zwischen genau einem Punkt auf g und einem Punkt auf h auf. Diese beiden Punkte mit Minimalabstand werden ebenfalls ermittelt.
Verzichten Sie bei der Eingabe auf die dritte Koordinate (gleich Null setzen), können Sie Aufgabenstellungen der Analytischen Geometrie der Ebene lösen. Insbesondere die zum Ursprung ermittelten minimalen Abstände der Geraden bilden die Grundlage für das Aufstellen der Hesseschen Normalform der Geradengleichung in der Ebene.

Beispiel: Für zwei Geraden durch die Punkte A(1;1;2), B(2;-1;1) und C(2;0;1), D(2;3;4) erhalten Sie:

  • Geraden sind windschief, Abstand ist gleich 0.5774
  • Normalvektor zu g und h: (-3;-3;3)
  • Punkt mit Minimalabstand auf g: (1.6667;-0.3333;1.3333)
  • Punkt mit Minimalabstand auf h: (2;0;1)
  • Abstand Punkt C – Gerade g: 0.5774
  • Abstand Ursprung – Gerade g: 2.1213
  • Abstand Ursprung – Gerade h: 2.1213
  • Spurpunkte – Gerade g: (0;3;3) (1.5;0;1.5) (3;-3;0)
  • Spurpunkte – Gerade h: (2;0;1) (2;-1;0)
  • Abstand Punkt A – Punkt B (Länge der Strecke AB): 2.44949
  • Abstand Punkt A – Punkt C: 1.73205

Dreieck im Raum / Dreiseitige Pyramide
In diesem Teilprogramm können Sie durch die Angabe von drei Punkten auch ein Dreieck im Raum und durch die Angabe von vier Punkten eine dreiseitige Pyramide definieren. Für das Dreieck wird Folgendes ermittelt

  • Die Längen der Strecken (Seiten des Dreiecks)
  • Die Innenwinkel des Dreiecks
  • Die Längen des In- und Umkreisradius
  • Die Beträge der Ortsvektoren der Punkte
  • Der Dreiecksschwerpunkt sowie die Seitenmittelpunkte
  • Ein Normalenvektor der Ebene ABC
  • Die Normalenvektoren der Ebenen, die vom Koordinatenursprung und je zwei der Dreieckspunkte gebildet werden
  • Der Umfang und Flächeninhalt des Dreiecks
  • Das Volumen der Pyramide mit dem Dreieck als Grundfläche und der Spitze im Koordinatenursprung

Für die dreiseitige Pyramide ermittelt das Programm die Längen aller sechs Körperkanten, den Flächeninhalt der vier Seitenflächen, die Länge der Höhen auf diese Flächen sowie die Volumina der Pyramide.

Beispiel: Für die die Pyramide begrenzenden Punkte A(0;0;0), B(1;0;0), C(-2;-1;0) und D(3;3;3) ermittelt das Programm unter anderem ein Pyramidenvolumen von 0.5, Kantenlängen von 1, 2.236, 5.196 …, einen Flächeninhalt der Seitenfläche ABC zu 0.5 und eine Pyramidenhöhe auf der Fläche BCD von 0.25.

Ebenen im Raum
Sind zwei Ebenen im Raum gegeben, können ebenfalls interessante Aufgabenstellungen gelöst werden.
Da drei nicht kollineare Punkte eine Ebene eindeutig bestimmen, werden beide Ebenen über die Koordinaten ihrer Stützpunkte eingegeben. Darüber hinaus können Sie die Ebene auch in Punkt-Richtungsform, Koordinatenform bzw. Normalenform festlegen. Nach Quittierung mit Berechnung werden die Ebenen in die vektorielle Punkt-Richtungsform, die Normalenform und die klassische Koordinatenform übertragen. Dazu werden die Richtung und der Betrag des Normalenvektors angegeben. Weiterhin ermittelt das Programm den minimalen Abstand der Ebene zum Koordinatenursprung.

NormalenvektorIst die Ebene über die Punkte A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2) und C(x3,y3,z3) definiert, so erhalten Sie aus dem Ortsvektor nach A und den Differenzen der Ortsvektoren nach A und B bzw. C die Punkt-Richtungsform der Ebenengleichung:

    \[ \vec{x}=\vec{a}+r(\vec{b}-\vec{a})+s(\vec{c}-\vec{a}) \]

Eine Ebene kann neben der Definition über drei Punkte oder mehrere Vektoren auch mithilfe eines Vektors und des Abstands zum Koordinatenursprung beschrieben werden.

Dieser Vektor, der Normalenvektor n0, steht senkrecht auf der Ebene und beschreibt damit deren Lage im Raum. Der Normalenvektor ist ein Vektor der Länge 1, also ein Einheitsvektor. Bestimmt man noch den Abstand zum Koordinatenursprung, erhält man die Hessesche Normalenform der Ebenengleichung. Im Programm wird die Hessesche Normalenform mit einem beliebigen Normalenvektor (nicht notwendigerweise ein Einheitsvektor) angegeben. Die Gleichung ist daher noch mit dem Reziproken des auch ausgeschriebenen Betrags dieses Normalenvektors zu multiplizieren.

Die nichtvektorielle analytische Geometrie bevorzugt die Koordinatengleichung in kartesischen Koordinaten

    \[ a\cdot x+b\cdot y+c\cdot z=d \]

welche ebenso von dem Programm ermittelt wird.

Zwei, nicht parallele, Ebenen haben stets eine Gerade gemeinsam. Diese Schnittgerade sowie der Schnittwinkel wird berechnet, wenn Sie für die zweite Ebene ebenso Werte eingegeben haben. Existiert keine Schnittgerade meldet das Teilprogramm: Schnittwinkel unbestimmt.

Gerade und Ebene
Haben Sie eine Gerade und eine Ebene definiert, wandelt das Programm die eingegebenen Gleichungen in die anderen Formen um und bestimmt:

  • den Abstand des Punktes P von der Ebene
  • den Durchstoßpunkt der Geraden in der Ebene
  • den Schnittwinkel Gerade-Ebene

Kugel und Ebene
Weiterhin können Sie auch eine Kugel sowie deren Lageverhältnis zu einer Ebene bzw. Geraden untersuchen.
Geben Sie die Kugel entweder in Normalform

    \[ (\vec{x}-\vec{m})^2=r^2 \]

oder durch vier auf ihr liegende Punkte an. Im zweiten Fall ermittelt das Programm für die vier Punkte A, B, C und E die Tangentialebenen zur Kugel. Haben Sie einen weiteren Punkt festgelegt, erhalten Sie die Polarebene des Punktes zur Kugel.

Geben Sie zusätzlich noch eine Ebene ein, überprüft das Programm, ob diese Ebene die Kugel schneidet. Prinzipiell wird der Fußpunkt des Lotes vom Kugelmittelpunkt auf diese Ebene ermittelt. Im Fall eines Schnittes ist dieser Fußpunkt der Mittelpunkt des Schnittkreises. Außerdem erhalten Sie den Radius eines evtl. vorhandenen Schnittkreises. Ist B der Berührungspunkt der Ebene (Ortsvektor b) an die Kugel (Mittelpunkt M, Radius r), so wird die Gleichung der Tangentialebene zu

    \[ (\vec{x}-\vec{m})(\vec{b}-\vec{m})=r^2 \]

Liegt B nicht auf der Kugel, stellt die Gleichung die Polarebene von B bezüglich des Kreises dar.

Darstellung der geometrischen Gebilde
Wählen Sie den Schalter Darstellung, werden die ermittelten Werte innerhalb eines Koordinatensystems dargestellt. Das Programm zeichnet dabei alle Objekte der Liste, die per Mausklick markiert wurden.
Damit können Sie einzelne Punkte, Geraden, Ebenen … auswählen und eine bessere Übersicht erhalten. Mit dem Schalter Alles auswählen werden alle Objekte gezeichnet.
An den drei Rollbalken Drehwinkel können Sie zusätzlich eine Drehung des Koordinatensystems erreichen. Damit können Sie u.U. die räumliche Lage der gezeichneten Objekte anschaulicher gestalten. Mit dem Schalter Drehung wird eine kontinuierliche Drehung der Objekte um die z-Achse gestartet.