Archimedische Kreise, Arbelos

In diesem Teilprogramm werden der Arbelos, die Archimedischen Kreise und die Kreise des Pappus innerhalb eines Halbkreises untersucht. Wählen Sie an den Auswahlfeldern das Thema aus.

Arbelos
Von den vielen aus Kreisbögen zusammengesetzten Figuren ist eine, die schon von Archimedes untersucht wurde, sehr interessant, der Arbelos, zu Deutsch „Schusterkneif“.
Der Arbelos entsteht, indem in einem Halbkreis zwei nebeneinander liegende Halbkreise so eingezeichnet werden, dass sie sich berühren und die Summe ihrer Durchmesser gleich dem Durchmesser des Ausgangskreises ist. Errichtet man an der Berührungsstelle der zwei Halbkreise die senkrecht zum Durchmesser stehende Halbsehne, so besitzt ein Kreis mit dieser Sehne als Durchmesser den gleichen Flächeninhalt wie der Arbelos.
ArbelosIst d der Durchmesser des Ausgangshalbkreises und r der Abstand AF, so beträgt der Flächeninhalt des Arbelos

    \[ A=\pi r\frac{d-r}{4} \]

In diesem Teilprogramm können Sie den Arbelos untersuchen.

Die Größe der Hypotenuse AB des Dreiecks stellen Sie durch Verschieben der zwei Punkte ein. Die Lage des dritten Dreieckspunktes C verändern Sie ebenfalls, indem Sie mit der Maus den Lotfußpunkt F längs der Hypotenuse verschieben. Das Programm stellt Ihnen sofort den Arbelos dar und ermittelt die entsprechenden Stücke sowie den Flächeninhalt des Arbelos.

Den Sekantenkreis sowie die gemeinsame Arbelostangente, das zugehörige Arbelosrechteck und der Tangentenkreis sind darstellbar.

Archimedische Kreise
Archimedische KreiseZur Konstruktion geht man wie folgt vor: Über dem Durchmesser eines Kreises werden Halbkreise gezeichnet, sodass ein Arbelos entsteht. Errichtet man die Senkrechte auf dem Durchmesser am Berührungspunkt der zwei Halbkreise, so existieren zwei Kreise K1 und K2, für die gilt:

1. Beide Kreise berühren die Senkrechte, die zwei kleinen Halbkreise und den Ausgangshalbkreis
2. Beide Kreise sind kongruent

Diese Kreise werden als Archimedische Kreise bezeichnet. Der Radius der Kreise ist gleich \frac{(AB)(BC)}{(AC)} und für AC = 1 und AB = r somit

    \[ R=\frac{r}{2}(1-r) \]

Über die Markierungsfelder verschobene Kreise, Apollonius-Kreis und Bankoff-Kreis können Sie weitere besondere Kreise darstellen lassen. Interessant ist, dass alle weiteren gezeichneten Kreise den gleichen Radius wie die Archimedischen Zwillingskreise haben.

Kreise des Pappus
Ein weiteres Problem an der Grundfigur der Archimedischen Kreise ist die von Pappus erstmals beschriebene Folge von Kreisen, die sogenannte Reihe des Pappus.

Gegeben ist ein Halbkreis und in diesem ein Arbelos. Unter der Pappus-Reihe versteht man nun die Folge von Kreisen, die derart in den Arbelos eingefügt werden, dass sie sowohl den Arbelos als auch den vorhergehenden Pappus-Kreis berühren.
Kreise des PappusDiese Reihe existiert immer und ist unendlich, wenngleich die Radien der Kreise gegen 0 konvergieren.

In diesem Teilprogramm zeichnet das Programm bei Wahl des Markierungsfeldes diese Kreise des Pappus in beide Richtungen vom Fußpunkt F aus.

Zwischen den Halbkreisen des Arbelos und den Kreisen der Pappus-Reihe können Apollonius-Kreise, d.h. Kreise, die drei Kreise berühren, eingetragen werden. Mit diesen erweiterten Kreisen können Apollonius-Kreise immer höherer Ordnung konstruiert werden. Das Programm zeichnet die erweiterten Pappus-Kreise 2. und 3. Ordnung bei Markierung der zugehörigen Felder.