Aussagenlogik

I know what you’re thinking about,“ said Tweedledum, „but it isn’t so, nohow.“
„Contrariwise,“ continued Tweedledee,
„if it was so, it might be, and if it were so, it would be, but as it isn’t, it ain’t.
That’s logic.“
Lewis Carroll

AussagenlogikSachverhalte der Realität werden in Form von Aussagen erfasst. Mathematische Aussagen sind sprachliche Ausdrücke (mitunter in symbolischer Schreibweise), die nur einen der beiden Wahrheitswerte „Wahr“ (1, TRUE, L) oder „Falsch“ (0, FALSE, 0) annehmen können. Dabei ist es vollkommen unerheblich, ob die Mathematiker heutzutage den Wahrheitswert einer Aussage schon bestimmen können oder nicht. Zwar weiß zum Beispiel noch niemand, ob die Aussage
       Es existieren unendliche viele Primzahlzwillinge
wahr oder falsch ist, dennoch ist nur eins von beiden möglich

Mittels klassischer Aussagefunktionen (Operatoren und Operationen mit Aussagen) können zusammengesetzte Aussagen auf ihren Wahrheitswert geprüft werden. Im Programm sind unter diesem Teilprogramm als Aussagefunktionen vordefiniert:

  • Negation (NOT, Nicht) – … ist eine einstellige Aussagefunktion (Operator), welche genau dann wahr ist, wenn die Ausgangsaussage falsch ist
  • Konjunktion (AND, Und) * oder & … ist wahr, wenn beide Aussagen gleichzeitig wahr sind
  • Disjunktion (OR, Oder) + oder | … ist wahr, wenn einer der beiden Aussagen wahr ist
  • Alternative (XOR, Entweder Oder) # … ist wahr, wenn entweder die eine oder die andere Aussage wahr ist
  • Implikation (Wenn … so) > … ist nur falsch, wenn aus einer wahren Aussage eine falsche geschlussfolgert werden soll
  • Äquivalenz (Genau dann, wenn) = … ist wahr, wenn beide Aussagen gleichen Wahrheitswert besitzen
  • NAND-Operation … ist wahr, wenn beide Aussagen falsch sind. Diese Operation entspricht -A & -B
  • NOR-Operation / … ist falsch, wenn beide Aussagen wahr sind. Diese Operation entspricht -A | -B

Für die vier möglichen verschiedenen Belegungen der Aussagen A und B ergibt sich die Wahrheitswertetabelle:

A B A*B A+B A#B A>B A=B A\B A/B
1 1 1 1 0 1 1 0 0
1 0 0 1 1 0 0 0 1
0 1 0 1 1 1 0 0 1
0 0 0 0 0 1 1 1 1

Zu bemerken ist hier noch, dass mittels NAND- und NOR-Operation sowie Negation jede andere Aussagenoperation dargestellt werden kann.

In diesem Unterprogramm können Sie bis zu sieben Aussagen (A, B, C, D, E, F und G) durch diese acht Funktionen verknüpfen. Es gilt, dass die zusammengesetzte Aussage eine Funktion der Ausgangsaussagen ist: H = f(A, B, C, D, E, F, G). Nach Quittierung Ihrer Eingabe mit dem Schalter Berechnung wird eine Wahrheitswertetabelle für alle möglichen Belegungen der Aussagen mit „Wahr (1)“ oder „Falsch (0)“ bestimmt.

Beispiel: Für die aussagenlogische Verbindung A*(-B>-A)>B=C erhalten Sie die Wahrheitswertetabelle:

A B C H
1 1 1 1
0 1 1 1
1 0 1 1
0 0 1 1
1 1 0 0
0 1 0 0
1 1 0 0
0 0 0 0

Da die linke Seite der Äquivalenz die allgemeingültige Regel des Indirekten Schlusses darstellt, ist diese Aussage genau dann wahr, wenn C wahr ist. Die besondere Bedeutung derartiger Aussagenverbindungen liegt in der Begründung mathematischer Beweistechniken, bildet die Grundlage der Mengentheorie und findet sich in der Schaltalgebra, der Grundlage moderner Computertechnik, wieder.

Außer der Wahrheitswertetabelle bestimmt das Programm auch die ausgezeichnete disjunktive Normalform des
logischen Ausdrucks. Unter einer disjunktiven Normalform versteht man die disjunktive Verknüpfung von Konjunktionstermen. Enthält die disjunktive Normalform ausschließlich Minterme, d.h., jede Variable tritt genau einmal je Konjunktion auf, so heißt diese Normalform ausgezeichnete disjunktive Normalform. Für das genannte Beispiel erhalten Sie (A+B+C)*(-A+B+C)*(A+-B+-C)*(-A+-B+-C).