Bahnbestimmung nach Gauß

Bahnbestimmung nach GaußIn der Neujahrsnacht 1801 entdeckte der Italiener Guiseppe Piazzi mit Ceres den ersten Kleinplaneten. Da dieser Kleinplanet mit einer großen Bahnhalbachse von 2,8 AE eine große tägliche Eigenbewegung besitzt, wäre er vermutlich verloren gegangen und erst mit Mühen irgendwann später wiederentdeckt worden.

Hier erhielten die Astronomen jedoch Hilfe von einem der größten Mathematiker aller Zeiten, von Carl Friedrich Gauß. Aus nur drei (!) Beobachtungen von Ceres gelang es ihm, die Bahndaten des Planetoiden mit hinreichender Genauigkeit zu berechnen. Das dazu entwickelte geniale Verfahren gehört auch heute noch zu den Glanzpunkten der rechnenden Astronomie und ist auch nicht ohne Weiteres zu verstehen.

Eine sehr schöne Beschreibung dieser Methode finden Sie in „Astronomie mit dem Personalcomputer“ von Montenbruck und Pfleger.

Ein etwas modifiziertes Verfahren ist in diesem Teilprogramm umgesetzt. Zur Ermittlung der Bahn eines Kometen oder eines Planeten benötigen Sie drei Beobachtungen und von diesen die genaue Beobachtungszeit sowie Rektaszension und Deklination des Objekts. Tragen Sie diese in die Tabelle ein.

Klicken Sie auf den Schalter B, so erhalten Sie die Originaldaten, mit denen Gauß die Bahn des Planetoiden Ceres ermittelte. Weiterhin können Sie auch Beobachtungsdaten als Datei auf der Festplatte speichern und auf Wunsch wieder laden.

Wichtig ist noch, dass das Äquinoktium (Bezugsjahr) für die Messdaten und die Berechnung gewählt werden. Starten Sie nun die Berechnung, so erhalten Sie

  • die ekliptikalen geozentrischen Koordinaten von Sonne und beobachtetem Objekt
  • die heliozentrischen Entfernungen
  • die genäherten Bahndaten wie große Halbachse, Periheldistanz, Exzentrizität, Bahnneigung, Perihellänge usw.

und damit die gesuchten Bahndaten des Objekts.

Hinweis: So leistungsstark die Gaußsche Methode ist, hat sie natürlich auch ihre Grenzen. Insbesondere für hyperbolische Kometenbahnen mit einer Exzentrizität größer als 1.1 sind die ermittelten Werte stark fehlerbehaftet. Wird das Objekt weiterhin in der Nähe seiner Konjunktion beobachtet, können mehrere Lösungen existieren. Es ist nicht sicher, dass die ermittelten Ergebnisse den tatsächlichen Verhältnissen entsprechen.

Zur Ermittlung der Bahndaten wird eine umfangreiche Iteration durchgeführt. Mitunter kann diese auch nicht konvergieren. Auch in diesem Fall erhalten Sie keine Lösung.

Beispiel

Wie stark das Gauß-Verfahren ist, kann man jederzeit testen. Mit dem Programm wurden für den Planeten Mars drei Beobachtungsdaten errechnet (Äquinoktium = 2000):

Beobachtung 1 Beobachtung 2 Beobachtung 3
Datum und Zeit 15 9 2003 13.367 20 10 2003 23.5 30 11 2003 15.3
Rektaszension (h m s) 22 20 18 22 26 24 23 28 24
Deklination (° m s) -16 30 54 -13 3 24 -4 23 18

Nach Eingabe dieser Werte ermittelt das Teilprogramm für diesen Planeten u.a. eine große Halbachse von 1.538 AE (wahrer Wert 1.524), eine Exzentrizität 0.0967 (wahrer Wert 0.0934), eine Bahnneigung von 1.88° (1,85°) und eine Perihellänge von 339.2° (336°). Bedenkt man, dass die Marsbahndaten besonders großen Schwankungen unterliegen, ist die erzielte Genauigkeit faszinierend. Ein Auffinden des Planeten am Himmel wäre damit kein Problem.