Beziehung Mandelbrot-Julia-Mengen

Mandelbrot-Julia-MengenMit dem Apfelmännchen sind weitere Fraktale verwandt: die sogenannten Juliamengen.
Die Berechnung einer Juliamenge unterscheidet sich nur in der Addition der Konstanten c. Während beim Apfelmännchen für jeden zu berechnenden Bildpunkt eine andere Konstante verwendet wird, nämlich die komplexe Koordinate des zu berechnenden Punktes, ist die Konstante c bei der Juliamenge für jeden Punkt gleich. D.h.:

  • z0 ist weiterhin der Punkt, dessen Farbe bestimmt werden soll,
  • c ist jedoch unabhängig von dem zu berechnenden Punkt.

ApfelmännchenDurch Variation der Konstanten c kann sehr unterschiedliche Juliamengen erhalten. Dabei gilt:

  • wird der Wert aus dem schwarzen Bereich des Apfelmännchens gewählt, so entstehen zusammenhängende Gebilde.
  • wird ein Wert außerhalb gewählt, entstehen mehrere nicht miteinander verbundene Gebilde.

Die interessantesten Formen entstehen, wenn man c aus dem Rand des Apfelmännchens wählt.

Faszinierend ist der Übergang an der Grenze des schwarzen Bereichs: Während zuerst ein zusammenhängendes Gebiet zu sehen ist, löst sich dieses immer mehr auf, bis schließlich getrennte Bereiche zu erkennen sind.
Diese Beziehung zwischen der Mandelbrotmenge und den zugehörigen Juliamengen kann in diesem Teilprogramm untersucht werden.

In der links dargestellten Mandelbrotmenge sind sechs rote Punkte eingezeichnet. Diese beschreiben die Koordinaten von sechs entsprechenden Juliamengen. Die Punkte können mit der Maus verschoben werden. Außerdem können Sie die Koordinaten auch direkt in die Tabelle eintragen.
Wählen Sie Juliamengen zeichnen, so zeichnet das Programm die sechs Juliamengen.

Beachten Sie bitte: Die sehr komplexe Berechnung erfordert auch auf schnellen Computern einige Zeit.

Animation der Juliamengen
Verschieben Sie einen der Punkte in der Mandelbrotmenge und haben Sie das Feld bei Ziehen sofort zeichnen markiert, so können Sie die Änderung unmittelbar nachvollziehen.

Auch diese Darstellung erfordert die volle Leistung Ihres Prozessors. Auf etwas langsameren Computern kann es daher zu einer ruckartigen Bewegung kommen.

Punkt 1 kann zusätzlich automatisch verschoben werden. Diese Animation starten und stoppen Sie über den Schalter.
An der aufklappbaren Liste können Sie wählen, wie Punkt 1 bewegt wird. Insbesondere die oben beschriebene Bewegung auf der Kardioide des Apfelmännchens ist sehr interessant.

Mandelbrot-Julia-Mengen
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Download der Beziehung zwischen Mandelbrotmenge und den Juliamengen als Einzelprogramm: