Binomische Formeln

Binomische FormelnDas Teilprogramm Binomische Formel veranschaulicht grafisch die erste und zweite binomische Formel

(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a-b)² = a² – 2ab + b²

Die erste binomische Gleichung kann als Zusammensetzung zweier Quadrate der Seitenlängen a und b und zweier Rechtecke mit den Seitenlängen a, b veranschaulicht werden. Ordnet man diese Flächen wie in der Darstellung ersichtlich an, so entsteht ein Quadrat mit der Seitenlänge a + b und somit als Flächeninhalt (a + b)², was gerade der binomischen Formel entspricht.

An den zwei Rollbalken können Sie die Werte für a und b verändern.
Die Berechnungsergebnisse werden nur angezeigt, wenn Sie das Feld Rechnung markieren; die Seiten beschriftet bei Markierung von Beschriftung.

2.binomische Formel2.binomische Formel
Für die grafische Darstellung der zweiten binomischen Gleichung wird von einem Quadrat der Länge a ausgegangen (o.b.d.A. sei hier a größer als b).
Von diesem werden zwei Rechtecke (rot) der Seitenlängen a-b abgezogen.

Da diese beiden Rechtecke sich überlappen, muss das gemeinsame Quadrat mit der Seitenlänge b wieder addiert werden. Andernfalls hätte man diese Fläche doppelt vom Ausgangsquadrat subtrahiert. Der verbliebene Flächenrest (gelb) ist dann gerade (a-b)², so dass sich ergibt

a² – 2 ab + b² = (a-b)²

d.h. die zweite binomische Formel.

Binomische Formel 3.GradesBinomische Formel 3.Grades
Das Teilprogramm Binomische Formel 3. Grades veranschaulicht die binomische Formel

(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Zur Demonstration der binomischen Formel 3. Grades benötigt man eine räumliche Darstellung.
Hier wird ein Würfel der Kantenlänge a + b aus einem Würfel der Länge a, einem Würfel der Länge b und jeweils 3 Quadern mit den Kantenlängen a, a, b bzw. a, b, b zusammengesetzt.

Binomische Formel 3. Grades

Die Werte für a und b tragen Sie in die Eingabezeilen ein. Zur Erhöhung der Anschaulichkeit können Sie an mehreren Markierungsfeldern auswählen, welche der acht Teilkörper dargestellt werden sollen.
Markieren Sie das Feld Körper drehen, dreht das Programm den Würfel im Raum.

Download

Das Teilprogramm zur Binomischen Formel 3.Grades kann auch als eigenständiges Programm geladen werden.