Differenzialgleichungssystem

DifferenzialgleichungssystemIn diesem Unterprogramm können Sie ein Differenzialgleichungssystem bestehend aus maximal drei Gleichungen iterativ lösen. Die Struktur der Einzelgleichungen ist:

    \[ dy_i=f(x,y_1,y_2,y_3) \]

Zur Lösung wird das Einschrittverfahren nach Runge-Kutta eingesetzt, eine Weiterentwicklung des Euler-Verfahrens. Da dieses Verfahren nur die Eigenschaften der Funktionen ausnutzt, ist es numerisch sehr stabil und liefert gute Ergebnisse. Für eine genauere Beschreibung der Theorie lesen Sie bitte im Lexikon des Programms nach oder in entsprechender Fachliteratur.

Geben Sie zuerst die Gleichungen, die Anfangswerte y1, y2 und y3, das zu untersuchende x-Intervall und die Anzahl der Zwischenwerte ein. Nach Auswahl von Berechnung bzw. RETURN ermittelt das Programm die Näherungswerte.

Mit dem Schalter B tragen Sie die drei Differenzialgleichungen

dy1 = -0.04 y1
dy2 = 0.04 y1 – 0.03 y2
dy3 = 0.03 y2

und die Anfangswerte 1, 2 und 1 ein. An diesem Beispiel erkennen Sie, dass die y-Werte in der Form Y1, Y2 und Y3 eingetragen werden müssen.

Bei dem Verfahren vom Runge-Kutta-Typ wird mit einer automatischen Schrittweitensteuerung der Schrittweite h versucht, den auftretenden Rundungsfehler möglichst klein zu halten. In der Tabelle finden Sie auch die Werte von h. Je höher die Anzahl der Tabelleneinträge (bei gleicher x-Intervallbreite) gewählt wird, desto genauer werden die Ergebnisse. Allerdings wächst auch die notwendige Berechnungszeit stark an. Geben Sie weniger als drei Gleichungen ein, erkennt das Programm dies automatisch.

Beispiel: Die Differenzialgleichung

    \[ y'=\frac{dy}{dx}=y \]

ergibt als analytische Lösung die Funktionsschar y = C ex. Geben Sie in die erste Zeile Y1 und als Startwert 1 ein, ermittelt das Programm für das Intervall x ∈ [0, 5] u.a.

x 0 1 2 3 4 5
y1 1 2.7183 7.389 20.0855 54.5981 148.4131

d.h. ein gute Wertetabelle der Funktion y = ex.

Nach der Berechnung des Differenzialgleichungssystems können Sie die ermittelten Funktionswerte auch grafisch veranschaulichen. Betätigen Sie dazu den Schalter Darstellung.
Das Programm trägt, beginnend an den Punkten (Intervallanfang; zugehöriger Startwert), die berechneten Punkte der bis zu drei Funktionen ein und verbindet diese. Je mehr Tabelleneinträge Sie gewählt haben, desto glatter werden die Funktionsverläufe dargestellt. Allerdings kann es am Ende großer Berechnungsintervalle doch zu erheblichen Abweichungen kommen.