Diophantisches System

Diophantisches SystemIn Ergänzung zum Lösen von linearen Gleichungssystemen bietet dieses Unterprogramm die Möglichkeit, diophantische Gleichungssysteme zu lösen.

Unter einer diophantischen Gleichung versteht man ein Polynom f(x) mit ganzzahligen Koeffizienten, bei dem man verlangt, f(x) = a ausschließlich in ganzen Zahlen zu lösen. Erstmals behandelte Diophantos von Alexandria (um 250) Lösungsverfahren derartiger linearer und quadratischer Gleichungen. In Europa knüpfte man erst im 17. Jahrhundert wieder verstärkt an die antiken mathematischen Erkenntnisse an. Ein Meilenstein war dabei 1621 die lateinische Übersetzung der Werke des Diophant durch Gaspard Bachet de Méziriac.

Das Programm beschränkt sich nicht auf eine einzelne lineare diophantische Gleichung, sondern ermöglicht es, Systeme derartiger Gleichungen aufzulösen, wobei stets eine Gleichung mehr als Variablen gesetzt wird, d.h., die diophantischen Systeme stellen einen Spezialfall eines mit n Variablen und n – 1 Gleichungen unterbestimmten linearen Systems dar, da Lösungen nur in der Menge der ganzen Zahlen gesucht werden.

Nach Auswahl des Grades des Gleichungssystems von 2 (eine Gleichung, zwei Variablen) bis 10 (neun Gleichungen, zehn Variablen) geben Sie die Koeffizienten ein.
Bei Betätigung des Schalters Berechnung werden die Variablen in der Form x = a + b * k ermittelt, wobei a und b ganze Zahlen und k ein die ganzen Zahlen durchlaufender Parameter sind. Ist das System lösbar, werden zusätzlich für die Werte von k = -4, …, 4 die speziellen Lösungen angezeigt.

Liegt nur eine diophantische Gleichung a · x + b · y = c vor, so besitzt diese entweder unendlich viele Lösungspaare (x,y) oder keine Lösung. Lösungen können nur dann gefunden werden, wenn der größte gemeinsame Teiler von a und b auch Teiler von c ist.

Beispiel 1: Die lineare diophantische Gleichung 1·x0 + 2·x1 = 3 ergibt die Parameterdarstellung für x0 = -1 – 2·k und x1 = 2 + k

Beispiel 2: Für die lineare diophantische Gleichung 2·x0 + 6·x1 = 7 findet das Programm keine Lösung, da der ggT(2,6) = 2 kein Teiler von c = 7 ist. Lösen Sie diese Gleichung als lineares System mit zwei Variablen und einer Gleichung, ergibt sich x0 = 3.5 – 3·k und x1 = k. An dieser Lösung erkennt man, dass es keine reelle Zahl gibt, für die x0 und x1 ganzzahlig und damit zur Lösung der diophantischen Gleichung werden kann.

Ist der Grad des diophantischen Gleichungssystems größer als 4, werden die Lösungsparameter sehr groß.
Überschreiten sie den Bereich der ganzen Zahlen (bis etwa 2 Milliarden), wird keine Lösung ermittelt. Gelingt es dem Programm nicht, eine eindeutige Darstellung zu ermitteln, wird der Fehler Keine eindeutige Lösung gemeldet.