Duale Polyeder

Nach dem Dualitätsprinzip existiert zu jedem Polyeder ein duales oder reziprokes Polyeder. Bei diesem sind die Positionen von Ecken und Flächen komplementär getauscht. Existiert die Umkugel des Polyeders, so wird diese beim dualen Polyeder zur Inkugel.

Die Platonischen Körper sind zum Beispiel paarweise zueinander dual.
Das Tetraeder ist zu sich selbst dual, während der Würfel zum Oktaeder dual ist und umgekehrt. Analog gilt dies für Dodekaeder und Ikosaeder. Die dualen Polyeder der Archimedischen Körper sind die Catalanschen Polyeder.

In diesem Teilprogramm können Sie duale Polyeder parallel betrachten.
Unter Körpertyp wählen Sie eine Klasse von Körpern aus, anschließend in der rechten Liste einen Körper. Das Programm stellt dieses Polyeder auf der linken Seite dar, berechnet(!) aus diesem einen dualen Körper, bei dem die Eckpunkte genau die Flächenmittelpunkte des Ausgangskörpers sind, und zeichnet ihn rechts.

Beachten Sie bitte Folgendes:
In diesem Programmteil werden die dualen Polyeder der Platonischen und Archimedischen Körper nach der Dorman-Luke-Konstruktion (siehe Lexikon) berechnet. Da dieses Verfahren aber für nicht uniforme Körper, wie z.B. die Catalanschen Polyeder, nicht gilt und für solche Polyeder noch kein allgemeingültiger Algorithmus entdeckt wurde, werden deren duale Polyeder so berechnet, dass genau der Flächenschwerpunkt der Eckpunkt des dualen Polyeders ist. Streng genommen sind derartige duale Polyeder nur pseudodual, das heißt zum Beispiel, dass die aus den Catalanschen Körpern entstehenden dualen Körper nicht vollständig halbregelmäßig sind.

Quasiduale Polyeder

Fordert man, dass für ein Ausgangspolyeder genau jeder Flächenschwerpunkt ein Eckpunkt eines neuen Polyeders ist, ohne weitere Forderungen wie Konvexität usw., so ergeben sich quasiduale Polyeder. Insbesondere bei nicht uniformen Polyedern, wie zum Beispiel einigen Johnson-Polyedern, entstehen dann auch nichtkonvexe quasiduale Polyeder.

Dabei ist zu beachten, dass zum Beispiel an einer Ecke des Ausgangspolyeders, an der fünf Kanten zusammentreffen, nicht notwendigerweise ein Fünfeck als Seitenfläche des quasidualen Polyeders entsteht. Diese fünf Punkte des Fünfecks müssen nicht in einer Ebene liegen, sodass kein ebenes Fünfeck entsteht. Für ein Polyeder muss diese Seitenfläche daher in kleinere Teilflächen, meist Dreiecke, zerlegt werden. Eine solche Zerlegung ist nicht eindeutig, sodass für ein nicht uniformes Polyeder mehrere quasiduale Polyeder existieren können.

Für die Johnson-Polyeder werden hier derartige quasiduale Polyeder konstruiert.

Darstellung und Animation der Körper

Die Darstellung der Körper kann gesteuert werden. Klicken Sie auf die Schalter in der oberen Schalterleiste, so wird die Größe der Körperdarstellung verkleinert oder vergrößert.

Ist die Darstellung des Körpers möglich, so können Sie diesen um seine räumliche Achsen bewegen und so die Anschauung verbessern.
Die Körper werden in einem räumlichen Koordinatensystem dargestellt. Starten Sie die Rotation, werden beide zur besseren Veranschaulichung um die Achsen gedreht. Mithilfe dieser Bewegung wird der räumliche Eindruck verstärkt sowie eine bessere Vorstellung der Gestalt des Körpers möglich.
Geschwindigkeit und Richtung der Drehung stellen Sie an den Pfeilschaltern für die Drehung in x-, y- und z-Richtung ein.

Die Berücksichtigung der Unsichtbarkeit von Körperkanten können Sie an dem Auswahlfeld verdeckte Kanten einstellen. Schalten Sie auf Kantenmodell, so zeichnet das Programm ein Gittermodell des Körpers, d.h., alle Kanten werden sichtbar dargestellt. Wählen Sie Durchdringung, so werden beide Polyeder ineinander gezeichnet.

Bei Beachtung der verdeckten Kanten stellt das Programm weiße Körperflächen dar. Auf Ihren Wunsch zeichnet das Programm auch farbige Seitenflächen. Zum einen werden bei bunte Flächen 24 Farben so verteilt, dass möglichst benachbarte Flächen eine unterschiedliche Färbung besitzen. Markieren Sie das Feld farbige Flächen, werden die Flächen in Abhängigkeit von ihrer Eckenzahl eingefärbt.

Die verwendeten Farben sind vordefiniert. Bei weißem Hintergrund werden Dreiecke gelb, Vierecke grün, Fünfecke rot, Sechsecke grau, Achtecke rosa und Zehnecke blau gezeichnet. Über Schalter können Sie andere Farben für die Dreiecke, Vierecke … bis Zwölfecke auswählen.

Freie Drehung der Polyeder und anderen Körper

Das Programm ermöglicht Ihnen über die einfache Darstellung und die ständige Drehung der Polyeder hinaus zusätzlich die freie Drehung um die Abszissen- und Ordinatenachse. Klicken Sie dazu mit der linken Maustaste einmal in das Darstellungsfenster. Daraufhin interpretiert das Programm – bei weiterhin festgehaltener Maustaste – jede weitere Mausbewegung als Aufforderung, die Darstellung zu drehen.

Eine Mausbewegung nach links oder rechts dreht beide Körper sofort um die y-Achse, das Verschieben der Maus nach oben oder unten dreht die Darstellung um die Abszissenachse.

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