Elliptische Kurven

Elliptische KurvenIn der Zahlentheorie ist eine elliptische Kurve eine singularitätenfreie algebraische Kurve der Ordnung 3 in der projektiven Ebene.

Die allgemeine Gleichung einer elliptischen Kurve hat die Form

E = {(x,y)| y² = ax³+bx²+cx+d}

Auf derartigen Kurven befinden sich mitunter Punkte mit ganzzahligen Koeffizienten. Einige moderne Verschlüsselungsverfahren basieren auf solchen Kurven. Der Name leitet sich davon ab, dass diese Kurven elliptische Integrale parametrisieren.

Eine elliptische Kurve der Form y² = a x³ + b x² + c x + d wird auf Grund ihrer vier Parameter durch vier Punkte in der Koordinatenebene eindeutig beschrieben.
Diese vier Punkte A, B, C, D können Sie in diesem Teilprogramm mit der Maus verschieben bzw. in die Punkttabelle eintragen. Das Programm stellt daraufhin sofort die zugehörige elliptische Kurve dar.

Interessant sind auch elliptische Kurven ohne quadratisches Glied bzw. mit einem normierten Faktor a=1. Verringern Sie am Rollbalken Punktzahl die Anzahl der signifikanten Punkte, so wird eine elliptische Kurve der Form
3 Punkte:      y² = a x³ + b x + c
2 Punkte:      y² = x³ + b x + c
ermittelt, die nun nur noch von drei bzw. zwei Punkten eindeutig bestimmt wird.

Elliptische Kurve BeispielDie Besonderheit elliptischer Kurven der Form y² = x³ + b x + c besteht darin, dass zwei Punkte P und Q relativ einfach auf der Kurve addiert werden können.

Der Punkt P+Q ist die Summe der Punkte P und Q gemäß dem Gruppengesetz der elliptischen Kurve.
Man konstruiert den Punkt P+Q geometrisch, indem man die Sekante durch die Punkte P und Q betrachtet. Die Sekante schneidet die elliptische Kurve dann in genau einem weiteren Punkt, der als kleiner gelber Punkt eingezeichnet ist.
Man konstruiert die Summe P+Q dann, indem man den kleinen gelben Punkt an der x-Achse spiegelt.

Markieren Sie das Feld S = A+B anzeigen, so ermittelt das Programm für den Fall von genau 2 Punkten A und B deren Summe.

Beachten Sie bitte, dass die zwei, drei bzw. vier Punkte voneinander verschiedene Abszissen besitzen müssen.