Epizykloide, Hypozykloide

EpizykloideEin im 16.-17. Jahrhundert sehr beliebtes Problem der Mathematik war die Frage nach der Form von Kurven, die entstehen, wenn ein Kreis auf einer anderen Kurve abrollt. Insbesondere das Rollen innerhalb oder außerhalb eines anderen Kreises faszinierte Mathematiker wie Dürer, Galilei, Desargues, Huygens, Fermat, Descartes, die Bernoullis, Leibniz, Newton, l’Hospital, Euler usw. – also nahezu alle führenden Personen der Mathematik dieses Zeitalters.

Rollt der Kreis außerhalb eines anderen und markiert man auf der Kreisperipherie einen Punkt, spricht man von einer entstehenden Epizykloide als Rollkurve. Bewegt sich der Kreis innerhalb eines zweiten Kreises liegt eine Hypozykloide vor. Je nach Größenverhältnis beider Kreise zueinander entstehen unterschiedlichste Kurvenbilder.

Dieses Teilprogramm gibt Ihnen die Möglichkeit, derartige Kurven zu konstruieren.
Epizykloide 2In diesem Teilprogramm stellen Sie an den Rollbalken
Folgendes ein:

  • Innenkreis … den Radius des inneren Kreises, d.h. des Kreises, auf dem der zweite rollt
  • Außenkreis … den Radius des rollenden Kreises
  • Verschiebung … die Größe, um die der zeichnende Punkt auf dem rollenden Kreis nach außen (positiver Wert) oder nach innen (negativer Wert) verschoben wird
  • Kurvenlänge … die Anzahl der vollen Umläufe, die maximal gezeichnet werden. Insbesondere für Innenkreis- und Außenkreisradien, die nicht in einem kleinen Verhältnis, z.B. 1:2 oder 3:4, stehen, kann so eine aussagekräftigere Kurve erzeugt werden.

Ob Sie eine Epizykloide, eine Hypozykloide oder gleichzeitig beide zeichnen wollen, stellen Sie an den Auswahlfeldern ein.
Wählen Sie nun Simulation, beginnt das Programm den Kreis abrollen zu lassen und konstruiert so die gewählte Zykloide. Die Geschwindigkeit stellen Sie an dem Rollbalken neben dem Simulation-Schalter ein. Um die Simulation zu stoppen, drücken Sie den Schalter noch mal.
HypozykloideEine besondere Darstellung erhalten Sie, wenn Sie das Markierungsfeld Zahnrad auswählen. In diesem Fall stellt das Programm auf- und ineinander rollende Zahnräder dar, die die gleichen Rollkurven erzeugen.

Interessante Kurven ergeben sich z.B. für

  • Hypozykloide mit Innenkreis 100, Außenkreis 50 … senkrechte Gerade
  • Hypozykloide mit Innenkreis 200, Außenkreis 50 … Astroide
  • Hypozykloide mit Innenkreis 100, Außenkreis 50, Verschiebung -50 … Kreis mit Radius 50
  • Hypozykloide mit Innenkreis 100, Außenkreis 25, Verschiebung -15 … „Quadrat“ mit abgerundeten Ecken
  • Hypozykloide mit Innenkreis 100, Außenkreis 25, Verschiebung +50 … „Vierblättriges Kleeblatt“
  • Epizykloide mit Innenkreis 60, Außenkreis 60, Verschiebung 0 … Kardioide

Markieren Sie das Feld reine Kurve, werden die erzeugenden Kreise nicht dargestellt. Das Programm zeigt in diesem Fall nur die entstehende mathematische Kurve.