Escher-Heesch-Konstruktionen

Escher-Heesch-KonstruktionenDurch den niederländischen Künstler M.C.Escher wurden mathematische Strukturen besonders umfangreich in die darstellende Kunst eingeführt.

Außer den faszinierenden „unmöglichen“ Figuren, wie zum Beispiel dem Escher-Würfel, beschäftigte er sich vor allem mit Flächenfüllungen. Intuitiv gelang es ihm eine Vielzahl möglicher Parkettierungen der Ebene in seinen Grafiken zu verwenden.

1963 gelang Heinrich Heesch und Otto Kienzle der Nachweis, dass genau 28 verschiedene Klassen solcher Escher-Parkette existieren. Diese entstehen durch Translationen, Drehungen, Spiegelungen und Gleitspiegelungen von Polygonzügen.

Escher 1In der Abbildung werden zwei benachbarte Seiten eines Parallelogramms beliebig verändert und zu den gegenüberliegenden Seiten verschoben. Aneinandergefügt erhält man so eine lückenlose Überdeckung der Ebene.

Dieses Escher-Parkett wird in der Fachliteratur mit TTTT bezeichnet, für 4 Translationen, und ist der Typ der Heesch-Klassifizierung.

In diesem Teilprogramm können Sie für die 28 möglichen Heesch-Typen eine Parkettierung der Ebene erzeugen. Zur Erhöhung der Übersichtlichkeit werden dabei spezielle Vielecke vorgegeben.

In der Liste Heesch-Typ wählen Sie den Typ aus. Das Programm zeigt nun das erzeugende Vieleck, die Anfangsmasche, an. Einige Punkte (Markierung Hilfspunkte) sind hellblau hervorgehoben und können mit der Maus verschoben werden. Je nach Heesch-Typ werden dabei andere Punkte der Masche verschoben.
Mitunter werden veränderte Kanten zur gegenüberliegenden Seite verschoben oder zu benachbarten Seiten gedreht oder aber an den Mittelpunkten von Seiten gespiegelt und vieles anderes mehr.
Insgesamt entsteht eine vollständige Überdeckung der Zeichenfläche.

Möchten Sie selbst experimentieren, so sollten Sie zu Beginn die Anzahl der Punkte je Strecke festlegen. Je höher der Wert ist, desto mehr Veränderungen der Linien können Sie durchführen.

Zur optisch schöneren Darstellung können Sie auch zwei verschiedene Färbungen einstellen. Ebenso ist die Darstellungsgröße veränderbar.
Escher 2Wählen Sie Einzelfarben, so sind die benutzten Farben auch über die Schalter Farbe 1 bis Farbe 4 veränderbar.

Die von Ihnen gestalteten Muster sind über die zwei Schalter mit der Abbildung einer Diskette speicherbar und zu einem späteren Zeitpunkt wieder aufrufbar.

Vordefiniert sind 12 Beispiele, die Sie am unteren Rollbalken wählen können. Die ersten drei Beispiele entsprechen bekannten Darstellungen aus Escher-Grafiken, z.B. der abgebildete Pegasus der Escher-Grafik No.105. Grundlage dieser Grafik ist die Symmetriegruppe p1, d.h. die Heesch-Konstruktion Typ 1.

Das beschriebene Verfahren zeigt die folgende Animation:
LurchIn der Animation wird ein „Lurch“ erzeugt. Dies entspricht der Escher-Parkettierung Typ 12: „Verschiedene Rotationen an zwei benachbarten Seiten“.
Bei dieser Escher-Parkettierung werden zwei gegenüberliegende Seiten eines Quadrates beliebig verändert. Dieses wird um 90° an einem Eckpunkt gedreht, so dass die dritte und vierte Seite verändert werden. Diese Art der Parkettierung benutzt M.C.Escher in seiner Grafik 104 „Lizard“.
PegasusAnalog ergeben sich die anderen Parkettierungen, z.B. der Pegasus:

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Die Escher-Heesch-Konstruktionen sind als eigenständiges Programm ladbar.