Figurierte Zahlen

Figurierte ZahlenFigurierte Zahlen sind Zahlen, die als Summe von Eckpunkten einer Folge von gleichliegenden Punkten von N-Ecken gebildet werden können. Sind die N-Ecke regulär, so spricht man von Polygonzahlen.
Figurierte Zahlen, insbesondere Dreieckszahlen, hatten in der Zahlenmystik und Mathematik der Antike und des Mittelalters besondere Bedeutung.

Beweise für einige Summenformeln von figurierten Zahlen, wie 1+2+…+n = n(n+1)/2, wurden schon von den Pythagoreern durch Betrachtung geometrischer Zahlen gegeben. Ausführlich wurden diese Zahlen von Hypsikles und Nikomachos von Gerasa (um 100 u.Z.) untersucht.

Ein berühmtes Beispiel für Dreieckszahlen findet sich selbst in der Bibel:
Die Jünger Simon, Jakobus und Johannes warfen auf Jesus‘ Geheiß das Netz auf der rechten (richtigen) Seite im See Genezareth aus und fingen genau 153 Fische (Johannnes 21, 10). 153 ist Dreieckszahl und es gilt 153 = 1 + 2 + … + 17. Das Summieren der Zahlen von 1 bis 17 ergibt sich aus der hebräischen Zahlenmystik. Das Wort „tow“ = „gut, richtig, rechtens“ entspricht gerade dem Zahlenwert 17.

Selbst der berühmte Mathematiker Carl Friedrich Gauß war von diesen Zahlen fasziniert. Am 10.7.1796 schrieb er in sein „Mathematisches Tagebuch“
         num = Δ + Δ + Δ
als Umschreibung seiner Entdeckung, dass sich jede natürliche Zahl als Summe von höchstens drei Dreieckszahlen schreiben lässt und bewies einen Spezialfall des Fermatschen Polygonalzahlensatz. Pierre de Fermat benannt schrieb:

„Ich war der erste, der den sehr schönen und vollkommen allgemeinen Satz entdeckt hat, dass jede Zahl entweder eine Dreieckszahl oder die Summe von zwei oder drei Dreieckszahlen ist; jede Zahl eine Quadratzahl oder die Summe von zwei, drei oder vier Quadratzahlen ist; entweder eine Fünfeckszahl oder die Summe von zwei, drei, vier oder fünf Fünfeckszahlen; und so weiter bis ins Unendliche, egal ob es ein Frage von Sechsecks-, Siebenecks- oder beliebigen Polygonalzahlen ist.
Ich kann den Beweis, der von vielen und abstrusen Mysterien der Zahlen abhängt, hier nicht angeben; deswegen beabsichtige ich diesem Subjekt ein ganzes Buch zu widmen und in diesem Teil arithmetisch erstaunliche Fortschritte gegenüber den vorhergehenden bekannten Grenzen zu erbringen.“

DreieckszahlenZum Beispiel sind Dreieckszahlen Zahlen, welche durch Abzählen von Punkten, die in Form eines gleichseitigen Dreiecks angeordnet sind, entstehen, d.h. also Zahlen der Form T(n) = 1 + 2 + … + n.
Die ersten sind 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, …

In diesem Teilprogramm werden einige dieser Zahlenarten grafisch veranschaulicht.
Wählen Sie zuerst, welche Zahlenart dargestellt werden soll. An dem Rollbalken Anzahl stellen Sie ein, wie viele dieser Zahlen angezeigt werden.
Zusätzlich werden die ersten 200 Zahlen dieser Art in einer Liste genannt.