Fries-Gruppen

Fries-GruppenEndliche Transformationen in der Ebene spielen in der Geometrie eine bedeutende Rolle, zum Beispiel bei der Betrachtung von Parkettierungen.
Diese Transformationen können als eine endliche Gruppe aufgefasst werden, wobei die sogenannten Friesgruppen diejenigen Bewegungen sind, deren Verschiebung nur eine Richtung aufweist.

Ein Fries ist dabei ein theoretisch unendlich langes, periodisches Ornament, das zwischen zwei parallelen Geraden angeordnet ist. Damit es periodisch ist, muss zu seinen Symmetrie-Abbildungen, die es mit sich selbst zur Deckung bringen, eine kürzeste Parallelverschiebung in Richtung dieser Geraden gehören.
Insgesamt existieren sieben verschiedene Friesgruppen. Dies bestehen aus:

  • nur Translationen
  • Translationen und Drehungen um 180°
  • Translationen und Spiegelungen an waagerechter Mittelachse, d.h. auch Gleitspiegelungen
  • Translationen und Spiegelungen an senkrechten Achsen
  • Translationen, Spiegelungen an waagerechten und senkrechten Achsen, d.h. auch Gleitspiegelungen
  • Gleitspiegelungen und Spiegelungen an senkrechten Achsen
  • nur Gleitspiegelungen und die sich daraus ergebenden Translationen

Beispiel 2In diesem Teilprogramm werden die sieben Friesgruppen veranschaulicht. Die Abbildung zeigt ein Fries des Typs 4.

Auf der linken Seite wählen Sie an den Auswahlfeldern die Art der Friesgruppe. Das Programm zeichnet sofort das
entsprechende Fries, voreingestellt mit Vierecken.
Die Anzahl und Lage der Punkte des zu zeichnenden Vielecks können Sie verändern.

Ein linker Mausklick auf eine freie Stelle erzeugt einen neuen Punkt, ein rechter Mausklick auf einen Punkt löscht diesen. Klicken Sie links auf einen Punkt, so können Sie diesen, wie üblich, verschieben.
Zur Darstellung nutzt das Programm automatisch ermittelte Abstände. Wünsche Sie dies nicht, so entfernen Sie die Markierung bei automatischer Abstand und verändern die Abstände an den Rollbalken.