Funktionsdiskussion

Dieses Teilprogramm ermöglicht Ihnen die Untersuchung einer Funktion auf besondere Eigenschaften wie Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Maximal- und Minimalpunkte, Wendepunkte usw.

Bei Übernahme der in der „Funktionsdefinition“ als 1. Funktion eingegebenen Funktion oder einer Neueingabe und Quittierung mittels des Berechnung-Schalters wird eine analytische Funktionsdiskussion durchgeführt. Die Funktionsgleichung wird zweimal differenziert.

Dabei ist zu beachten:

  • Zu komplexe Terme (Anzahl der Zeichen > 200) bzw. nicht differenzierbare Funktionen werden als solche ausgewiesen.
  • Die Funktionsgleichungen der Ableitungen werden weitgehend zusammengefasst. Dennoch kann es zu Konstruktionen wie Y=SIN(X)+(0*X) bzw. sehr vielen Klammern kommen. Dies hat keinen Einfluss auf die weitere Arbeit.

Das analytische Differenzieren von Funktionen gehört zu den anspruchsvollsten Teilen des Programms. Dieser Programmteil wurde zwar ebenso mit Sorgfalt programmiert und erwies sich stets als fehlerfrei, dennoch sollte der Nutzer die Ergebnisse, insbesondere bei exotischen Funktionen, einer kritischen Kontrolle unterziehen.

Das Ableiten der Funktionen können Sie direkt beeinflussen. Wünschen Sie keine automatische Differenziation durch das Programm, so entfernen Sie hinter den Eingabezeilen die Markierungen für die 1. und 2. Ableitung f’(x) und f“(x). Jetzt können Sie die Einträge 1. Ableitung bzw. 2. Ableitung selbst eingeben. Daraufhin werden diese Ableitungen nicht neu berechnet, sondern den Eingabefeldern entnommen, d.h., die von Ihnen eingegebenen Gleichungen beider Ableitungen werden zur weiteren Auswertung herangezogen.

Selbstverständlich können Sie aber auch durch das Programm ermittelte Ableitungsgleichungen manuell zusammenfassen. Beachten Sie dabei jedoch, dass bei nicht markierten Einträgen ein Aufruf der Diskussion mittels Berechnung bzw. der grafischen Darstellung über Darstellung die Ableitungen automatisch neu bestimmt, Ihr mühevolles Zusammenfassen also wieder unwirksam wird. Überschreitet die Zeichenanzahl der Ableitungen 200 Zeichen, bricht das Programm die Differenziation ab und meldet Ableitung zu komplex.

Beispiele:

Funktion Y = 1.Ableitung Y‘ = 2.Ableitung Y“ =
SIN(X) COS(X) -SIN(X)
X^3+2*X^2-X-1 3*X^2+4*X-1 6*X+4
(X^2+1)/(X-1) (X^2-2*X-1)/(X-1)^2 (-8*X^2+4*X-4)/(X-1)^4
X*EXP(-X) EXP(-X)-X*EXP(-X) -EXP(-X)-EXP(-X)+X*EXP(-X)

Diskutieren Sie gebrochenrationale Funktionen, bei denen die 2. Ableitung sehr umfangreich werden kann, so nutzen Sie das Unterprogramm Gebrochenrationale Funktionen.
Die zu untersuchende Funktion kann die Parameter P und Q enthalten. Die Werte für P und Q geben Sie in die entsprechenden Zeilen ein.

Suche nach signifikanten Punkten

Nach der Ermittlung der Ableitungen erfolgt eine Suche nach Null- und Polstellen sowie Extrem- und Wendepunkten der Funktion. Als Suchintervall werden die eingegebenen Werte Diskussion von … bis … genutzt. Voreinstellung ist ein Intervall -5 ≤ x ≤ 5.

Unter Nullstellen werden die Abszissenwerte der Schnittpunkte mit der x-Achse verstanden. Existiert ein Schnittpunkt mit der y-Achse, wird dieser Punkt ebenfalls berechnet und angezeigt. Polstellen befinden sich bei Argumenten, für welche die Funktion nicht definiert ist und deren links- und rechtsseitige Grenzwerte an diesen Stellen gegen plus oder minus Unendlich streben.

Als lokale Extrempunkte werden Punkte des Graphen ermittelt, an denen ein lokales Maximum (Maximalpunkt, Hochpunkt, „Berg“) oder lokales Minimum (Minimalpunkt, Tiefpunkt, „Tal“) vorliegt. Wendepunkte sind in diesem Programm Punkte, für die der Graph der Funktion den Krümmungstyp von konvex nach konkav bzw. umgekehrt ändert, d.h. von einer Rechtskurve in eine Linkskurve übergeht oder umgekehrt. Für jeden gefundenen Wendepunkt wird außerdem die Wendetangente angegeben.

Die zur Suche nach diesen Punkten genutzten Routinen wurden so allgemein wie möglich gehalten. Damit ist gewährleistet, dass Funktionen unterschiedlichsten Typs untersucht werden können. Allerdings resultiert daraus auch die Tatsache, dass Nullstellen, die gleichzeitig Extremstellen sind, nicht in jedem Fall erkannt werden können. Dies sollten Sie bitte beachten.

Ein besonderes Problem stellen Argumente dar, für welche die Funktion nicht definiert ist. Ist die Funktion in der Umgebung des Arguments definiert, kann dies dazu führen, dass das Programm einen derartigen einzelnen x-Wert als Nullstelle anzeigt.

Zum Beispiel tritt dies bei der Funktion f(x) = (x² – 4x + 4) (x6 + x³) / (2x² + 4x) an der Stelle x = 0 auf. Da die Funktion hier nicht definiert ist, also ein „Loch“ besitzt, sich im Grenzwert x → 0 aber dem Funktionswert 0 nähert und zusätzlich in der Umgebung von 0 für die Funktionswerte f(x) > 0 gilt, ermittelt das Programm sowohl eine Nullstelle als auch ein lokales Minimum – das heißt genau die Ergebnisse, welche die um den im Zähler und Nenner gemeinsamen Faktor x gekürzte Funktionsgleichung ergeben würde. Aus diesem Grund sollten Sie gerade bei Funktionen mit Unstetigkeitsstellen prüfen, ob deren Funktionsgleichungen nicht vereinfacht werden können und die nicht definierte Stelle gesondert behandelt wird.

Enthält die Funktion den Parameter P, ermittelt das Programm die numerischen Werte der signifikanten Punkte für den in der Eingabezeile P festgelegten Wert.

Darüber hinaus werden besondere Eigenschaften der Funktion, z.B. periodisch, gerade bzw. ungerade, ermittelt. Weiterhin untersucht das Programm, ob die eingegebene Funktion für x → ± ∞ gegen einen reellen Wert konvergiert. Dabei bedeutet die Anzeige + » mit einem Zahlenwert, dass die Funktion im positiven Unendlichen gegen diese Zahl strebt, entsprechend finden Sie nach – » den Grenzwert für das negative Unendliche. Beachten Sie bitte, dass nicht in jedem Fall die exakte Erkennung der Grenzwerte möglich ist, da hier mit Näherungsverfahren gearbeitet wird. Findet das Programm keinen Wert, erhalten Sie die Anzeige unbestimmt.

Haben Sie mit Berechnung eine Funktionsdiskussion durchgeführt und wurden die 1. und 2. Ableitung erfolgreich ermittelt, so finden in den Listen Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte die ermittelten Punkte. Zusätzlich erhalten Sie bei den Nullstellen und Wendepunkten den Anstieg der Funktion.
Die Genauigkeit der Punktangaben, d.h. die Anzahl der Dezimalstellen nach dem Komma, können Sie einstellen.

Darstellung der Funktion

Möchten Sie eine grafische Darstellung der Funktion, dann betätigen Sie den Schalter Darstellung. Zu beachten ist hierbei, dass die Graphen der 1. und 2. Ableitung nur gezeichnet werden, wenn die entsprechenden Einträge für die Bilder der Funktionen in der rechten Liste gewählt wurden.

Wählen Sie den Eintrag Numerisch 3. Ableitung, ermittelt das Programm die 3. Ableitung und zeichnet diese ebenfalls. Voraussetzung dafür ist, dass Ihre eingegebene Funktion mindestens einmal symbolisch differenziert wurde.

Innerhalb der grafischen Darstellung können Sie die berechneten signifikanten Punkte besonders markieren. Wählen Sie dazu in den drei Listen die gewünschten Punkte per Mausklick aus und markieren Sie den Eintrag markierte Punkte darstellen. Möchten Sie alle ermittelten Punkte und Stellen hervorheben, so wählen Sie alle Punkte darstellen.
Wählen Sie das Feld Nullstellen anzeigen aus, so werden die berechneten Nullstellen in der grafischen Darstellung markiert und deren Wert im Grafikfenster angezeigt.

Eine Vielzahl weiterer Darstellungsoptionen finden Sie zusätzlich in der rechten Liste. Entsprechende Beschreibungen dazu erhalten Sie unter „Funktionsbibliothek“.