Galton-Brett

Galton-BrettZur Untersuchung einer Binomialverteilung kann ein von dem englischen Botaniker Francis Galton (1822-1911) erdachtes, 1889 erstmals beschriebenes und nach ihm benanntes Experiment benutzt werden. Auf einem Brett sind mehrere Reihen von Nägeln befestigt, wobei von Zeile zu Zeile je ein Nagel mehr angebracht wird und diese Nägel alle auf „Lücke stehen“.

Lässt man nun von oben aus einer Öffnung Kugeln auf diese Nägel fallen, so werden diese durch Zufall nach links oder rechts abgelenkt und treffen auf die nächste Reihe von Nägeln, wo sie erneut abgelenkt werden usw. Unterhalb der letzten Nagelreihe befinden sich Auffangbehälter für die Kugeln.

Wiederholt man dieses Experiment sehr oft, ordnen sich die Kugeln entsprechend einer Binomialverteilung in den Behältern an. Beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Nagel nach links abgelenkt wird, genau 50%, so ergibt sich eine Binomialverteilung mit dem Parameter p = 0,5.

Galton 1Anmerkung: Die relative Lage der Nägel zueinander entscheidet darüber, wie groß die Wahrscheinlichkeit p ist, dass eine Kugel nach links bzw. nach rechts (Wahrscheinlichkeit 1 – p) abgelenkt wird. Betrachten Sie das von drei Nägeln gebildete Dreieck, so charakterisieren die vom Lot auf der unteren Dreiecksseite gebildeten Teilstücke die Wahrscheinlichkeiten.
Bilden je drei Nägel ein gleichseitiges Dreieck, so ist p damit 0,5. Die mechanische Herstellung eines guten Galton-Bretts ist anspruchsvoll, da die Lage der Nägel so genau wie nur möglich eingehalten werden muss. Andernfalls erhält man keine guten Testergebnisse.

In diesem Unterprogramm können Sie das Galton-Brett simulieren. Fünf Nagelreihen verteilen die Kugeln auf sechs mögliche Auffangbehälter. Die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Kugel nach links abgelenkt wird, stellen Sie an dem Rollbalken Wahrscheinlichkeit (linke Seite) ein. Die Simulation selbst starten Sie mit dem Schalter Start.

Während des Experiments stellt das Programm die Bewegung der Kugel als Linie dar, ordnet diese in den sechs Fächern an und ermittelt die Anzahl sowie die prozentuale Häufigkeit der Kugeln je Fach. Letzteres wird zusätzlich durch Balken grafisch veranschaulicht.
Die Geschwindigkeit der Animation können Sie an dem Rollbalken neben dem Start-Schalter beeinflussen. Jedes Fach kann maximal 12 Kugeln aufnehmen. Trifft eine weitere ein, wird das Fach zuerst entleert.