Ganzrationale Funktionen

Ganzrationale FunktionenEine ganzrationale Funktion n-ten Grades der Form

f(x) = anxn+an-1xn-1+ … +a1x+a0

wird im Allgemeinen durch n + 1 bekannte Stücke eindeutig bestimmt. Diese können sein:

  • Koeffizienten ai der Definitionsgleichung
  • Punkte P(x;y) der Funktion, der 1. oder 2. Ableitung

Spezialfälle dieser Funktionen sind z.B. lineare, quadratische und kubische Funktionen.

Eine beliebte Aufgabe ist es, aus den gegebenen Stücken die Funktionsgleichung zu entwickeln – mitunter auch als „Umgekehrte Kurvendiskussion“ bezeichnet. In diesem Unterprogramm können Sie bekannte Koeffizienten, Koordinaten von Punkten der ganzrationalen Funktion sowie bekannte Anstiege und 2. Ableitungen an gewissen Abszissen eingeben.

Da das Programm stets eine Funktion 5. Grades ermittelt, müssen Sie genau sechs Größen verwenden. Ist eine Funktion geringeren als 5. Grades gesucht, so setzen Sie die Koeffizienten a5, a4, … auf Null.

Kann eine eindeutige Gleichung der Funktion ermittelt werden, wird diese nach Betätigung des Schalters Berechnung als Funktionsgleichung angezeigt. Haben Sie zu viel oder zu wenig oder sich widersprechende Größen eingegeben, meldet Ihnen das Programm entweder Keine eindeutige Lösung! oder Zu viele bekannte Größen !
Zum Beispiel widersprechen sich die Eingaben für a0 = 0 und eines Funktionspunkts mit f(0) = 1 usw.

Ein weiteres Teilprogramm, dass sich mit einer umgekehrten Kurvendiskussion beschäftigt, finden Sie unter Polynomkonstruktion.

GraphBeispiel: Gesucht ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades, welche durch die Punkte (1;1), (2;3) und (0;-1) verläuft.
Bekannt ist weiterhin der Koeffizient a(2) = 1 und dass der Anstieg der Funktion an der Stelle x = 1, d.h. 45°, beträgt, d.h. die 1. Ableitung y‘ = 1 ist. Damit sind folgende Eingaben vorzunehmen:

1. In Spalte „a“: „a5“ 0
2. „a2“ 1
3. „a0“ -1
4. In den Spalten „x y“: 2 TAB 3 1 TAB 1
5. In den Spalten „x y‘ “: 1 TAB 1

Nach Auswahl des Schalters Berechnung ermittelt das Programm eine ganzrationale Funktion 4. Grades:

f(x) = 0.8*X4-2.2*X3+X2+2.4*X-1

Eine Kontrolle anhand der grafischen Darstellung oder der Wertetabelle bestätigt, dass die ermittelte Funktion die eingegebenen Bedingungen erfüllt. In den Zeilen Nullstellen, Extrema und Wendestellen werden die Abszissen dieser Stellen für die berechnete Funktion angezeigt.

In diesem Teilprogramm ermittelt das Programm ausschließlich Lösungen im Zahlbereich der reellen Zahlen. Suchen Sie die komplexen Lösungen der zu einer Funktion gehörenden ganzrationalen Gleichung, so nutzen Sie bitte das Teilprogramm Ganzrationale Gleichung. Verwenden Sie eine ganzrationale Funktion 5. Grades, so wird eine der eventuell vorhandenen Nullstellen iterativ ermittelt.
In dem genannten Beispiel erhalten Sie:

Nullstellen -0.92987 0.4001
Extrempunkte (-0.43685 | -1.645)
Wendepunkte (0.17338 | -0.565) (1.20162 | 1.179)

In der grafischen Darstellung wird die berechnete Funktion dargestellt. Zusätzlich können Sie besondere Punkte hervorheben. Markieren Sie das Feld Darstellung von gegebenen Punkten, kennzeichnet das Programm die als bekannte Größen eingegebenen Punkte. Wählen Sie das Feld berechnete Punkte zeichnen, werden die ermittelten reellwertigen Null-, Extrem- und Wendestellen im Graphen durch kleine Kreise hervorgehoben.

Beachten Sie bitte: Aufgrund umfangreicher Berechnungen und interner Rundung von Zwischenergebnissen können die ermittelten Werte von den exakten um einen geringen Prozentsatz abweichen.
Außerdem wird die iterativ bestimmte Nullstelle einer Funktion 5. Grades nur im Intervall von [-20 ; 20] gesucht; d.h., existiert wenigstens eine Nullstelle in diesem Intervall, so werden alle Nullstellen ermittelt.

Zusätzlich zu den genannten Punkten ermittelt das Programm auch die Funktionsgleichungen der 1. bis 3. Ableitung sowie eine Stammfunktion, deren Funktionsverlauf durch den Koordinatenursprung geht. Diese Funktionen können Sie wahlweise darstellen.

Werden mindestens zwei Nullstellen berechnet, können Inhalte von Flächen bestimmt werden, die von der Abszissenachse und dem Funktionsgraphen vollständig eingeschlossen werden. Für das genannte Beispiel erhalten Sie für die Fläche von -0.93 bis 0.4 einen Inhalt von -1.3764 Einheiten, d.h., die Fläche befindet sich unterhalb der x-Achse.

Markieren Sie das Feld Flächen unter der Kurve, so wird die Fläche unter der Kurve farbig hervorgehoben, vorausgesetzt, die Funktion besitzt mindestens zwei Nullstellen.
Die eingegebenen Tabellenwerte können Sie auf der Festplatte speichern und zu einem späteren Zeitpunkt wieder laden.