Gebrochenrationale Funktionen

Gebrochenrationale FunktionenBei einer Funktionsdiskussion gebrochenrationaler Funktionen treten mitunter äußerst umfangreiche Ableitungen auf, sodass diese als zu komplex ausgewiesen werden und nicht verfügbar sind.

In derartigen Fällen sollten Sie dieses Unterprogramm nutzen, zumal Sie hier neben einer allgemeinen Diskussion der Funktion zusätzlich die Asymptote, Unstetigkeitsstellen und Polgeraden ermittelt bekommen. Geben Sie zuerst die reellen Koeffizienten a, b, …, h der gebrochenrationalen Funktion ein,

    \[ f(x)=\frac{ax^3+bx^2+cx+d}{ex^3+fx^2+gx+h} \]

wobei Sie beachten müssen, dass der Zähler nicht vollständig 0 und der Nenner mindestens eine lineare Funktion sein muss. Andernfalls erhalten Sie die Fehlermeldung: Keine echt-gebrochenrationale Funktion.

Nach Bestätigung mit RETURN oder dem Schalter Berechnung ermittelt das Programm

  • die Funktionsgleichung der 1., 2. und 3. Ableitung
  • Nullstellen und Unstetigkeitsstellen (Pol, Loch)
  • Extrempunkte und Wendepunkte mit Wendetangenten
  • Gleichung der Asymptoten bzw. Hüllkurve

Mit dem Schalter Darstellung können Sie die Funktion, deren Ableitungen sowie die Asymptote darstellen.
Dabei werden die Ableitungen, die Asymptote bzw. Polgeraden nur gezeichnet, wenn deren Einträge in der Liste Darstellung … markiert sind. Zusätzlich können Sie sich analog auch die Zähler- und Nennerfunktion einzeln darstellen lassen.

Die numerischen Ergebnisse werden mittels Lösungsformel für ganzrationale Funktionen 4.Grades exakt berechnet. Sollte die Zählerfunktion der 2. Ableitung Grad 6 überschreiten; im Fall das kein Kürzen mit „X“ möglich ist; erfolgt die Bestimmung der Wendepunkte über Näherungsverfahren.

Nicht in jedem Fall ist garantiert, dass Sie eine vollständige Lösung erhalten. In diesem Fall greifen Sie auf die Unterprogramme Funktionsdiskussion oder Näherungsverfahren zurück. Ist die Zählerfunktion der 2. Ableitung mit dem Polynom „X“ kürzbar, d.h., bei X = 0 liegt ein Wendepunkt vor, wird diese in wenigen Fällen nicht angezeigt.

Zu beachten ist bitte auch, dass bei sehr komplexen Ableitungsfunktionen die evtl. berechneten Wendetangenten mit einem gewissen Fehler behaftet sein können.

Als Asymptoten werden auftretende Polgeraden nur angezeigt, wenn Sie das entsprechende Auswahlfeld markiert haben. Unter einer Hüllkurve versteht man eine Kurve, gegen die sich die Funktion im Unendlichen annähert. Ist diese Kurve eine Gerade (lineare Funktion), liegt eine Asymptote im eigentlichen Sinne vor.

GraphAbbildung: f(x)=\frac{x^3-x+1}{x+1} mit Hüllkurve und Polgerade bei x = -1

Für das Beispiel ermittelt das Programm eine Nullstelle bei -1.32472, einen Extrempunkt bei (0.67765;0,3776) – in diesem Fall ein lokales Minimum – einen Wendepunkt an der Stelle x = -2, eine Polstelle für x = -1 und eine Parabel Y = X²-X als Hüllkurve (in der Darstellung die rote Kurve).

Unterhalb der Eingabezeilen bildet das Programm bei jeder Änderung eine erste Vorschaugrafik ab, die Ihnen das spätere Ergebnis zeigt. Für eine exakte grafische Darstellung mit allen Zusatzmöglichkeiten (u.a. Speichern, Drucken, Animation …) klicken Sie auf den Schalter Darstellung.