Heron-Verfahren

Heron-VerfahrenDieses Teilprogramm demonstriert die Grundidee des Heronschen Näherungsverfahrens zur Bestimmung von Quadratwurzeln.

Soll die Wurzel aus n, z.B. n = 6, ermittelt werden, so bedeutet dies die Seitenlänge x eines Quadrates des Flächeninhaltes A = 6 zu bestimmen.
Geht man von einem flächengleichen Rechteck aus, z.B. mit den Seitenlänge x = 2 und y = 3, so kann ein „quadratähnlicheres“ Rechteck konstruiert werden, in dem das nächste Rechteck als Seitenlängen den Mittelwert x = (2+3)/2 und y = 6/x besitzt. Wiederholt man dies mehrfach, so nähern sich x und y immer mehr der gesuchten Wurzel an.

Die Zahl n, aus der die Wurzel gezogen werden soll, stellen Sie am Rollbalken ein.
Erhöhen Sie den Wert bei Iterationen, so wird das Heronsche Verfahren schrittweise vorgeführt.

In einem 2.Teilprogramm (Iterationsberechnung) wird das Heron-Verfahren berechnet:
Die numerische Berechnung von Quadratwurzeln hat eine lange Geschichte. Vor etwa 4000 Jahren kannten die Sumerer und Babylonier die iterative Gleichung

    \[ x_{n+1}=\frac{x_n+\frac{a}{x_n}}{2} \]

zur Berechnung der Quadratwurzel von a. Verallgemeinert man diese Formel auf beliebige n.te Wurzel, so erhält man die schon dem griechischen Mathematiker Heron von Alexandria (um 130) bekannte einfache Rechenvorschrift

    \[ x_{n+1}=\frac{(p-1)x_n+\frac{a}{x_n^{p-1}}}{p} \]

Diese spezielle Form der Newton-Iteration ermittelt schrittweise den Wert von p√a.
Wählen Sie dieses Teilprogramm, so können Sie näherungsweise Wurzeln n.ten Grades berechnen. Unter Radikand geben Sie den Radikanden sowie den Wurzelexponenten ein. Den reellen Radikanden können Sie im Bereich von 1 bis 9999999 wählen. Für den Wurzelexponenten können Sie Werte von 2 bis 100 verwenden.

Nach dem Schalter Berechnung ermittelt das Programm schrittweise die Zwischenlösungen. Dazu werden drei Startwerte genutzt, die Sie ebenfalls eingeben können. Der Abbruch erfolgt automatisch sobald der Fehler kleiner als 10-8 wird.