Integralrechnung

„… wir sind dahin gekommen, dass die meisten Leute differenzieren und integrieren,
nicht weil sie verstehn, was sie tun,
sondern aus reinem Glauben, weil es bisher immer richtig herausgekommen ist.“
Friedrich Engels

Dieses Teilprogramm ermöglicht die Berechnung der Inhalte von Flächen, die von dem Graphen einer Funktion und den Koordinatenachsen oder aber von zwei Funktionen eingeschlossen werden. Derartige Aufgaben gehören zur Grundausbildung des gymnasialen Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe II.

Für die eingegebene Funktion f(x) wird die Fläche unter der Funktion im eingestellten Intervall berechnet. Standardintervall ist der Bereich -5 ≤ x ≤ 5. Als Intervallgrenzen können Sie neben reellen Zahlen auch Ausdrücke der Form PI, -2*PI, SIN(1) oder 1/3 nutzen. Diese müssen aber den für Funktionsdefinitionen gültigen Regeln entsprechen.

FlächenartenErmittelt werden zwei Flächen:
Zum einen die orientierte Fläche unter der Funktion, zum anderen der Betrag aller Flächenstücke, gleichgültig, ob diese ein negatives Vorzeichen (sie befinden sich unterhalb der x-Achse) oder eine positive Orientierung (oberhalb der Abszissenachse) haben. Dabei entspricht der Zahlenwert der ersten Fläche dem bestimmten Integral der Funktion in den angegebenen Grenzen. Zusätzlich wird das Volumen zweier Rotationskörper (als Vielfaches von π sowie als reeller Wert) angezeigt, bei dem die absolute Fläche unter der Funktion um die Koordinatenachsen rotiert.

Zu beachten ist hierbei, dass das Rotationsvolumen um die y-Achse auf zweifache Weise berechnet wird: Zum einen rotiert die in der grafischen Darstellung farbig hervorgehobene Fläche A1 um die y-Achse, zum anderen die tatsächliche Fläche A2 unter der Funktion in Richtung Ordinatenachse (Eintrag: … um y-Achse (Fläche in Richtung y-Achse)).

IntegralrechungIn der Darstellung soll das Volumen von Rotationskörpern unter der Funktion Y = SQRT(X) für das Intervall [1;2] berechnet werden. Dabei ermittelt das Programm für das Rotationsvolumen um x-Achse den Wert 1.5 π. Dies entspricht der Rotation der Fläche A1 um die Abszissenachse. Für Rotationsvolumen um y-Achse ergibt sich 3.73 π, wobei erneut die Fläche A1, diesmal aber um die y-Achse rotiert.
Interessieren Sie sich für das Volumen des Körpers bei Rotation der Fläche A2 um die y-Achse, erhalten Sie unter dem Eintrag … um y-Achse (Fläche in Richtung y-Achse) das Ergebnis 0.93 π. Wie Sie der Darstellung entnehmen können, ändern sich dabei die Integrationsgrenzen auf die Funktionswerte der ursprünglichen Grenzen. Außerdem wird die Umkehrfunktion genutzt.

Integralrechung 2Zum Beispiel ermittelt das Programm für die Fläche unter der Funktion Y=2*SIN(X) in den Grenzen von x = -1 bis x = 3 als absolute Fläche 4,9 FE (Flächeneinheiten), für die orientierte Fläche 3,06 FE, da der größere Teil der markierten Fläche oberhalb der Abszissenachse liegt.

Ein Rotationskörper um die x-Achse hätte ein Volumen von 7.37 π RE = 23.16 RE (Raumeinheiten) … und um die y-Achse 13.66 π = 42.9 RE sowie in Richtung der y-Achse 12.24 π = 38.45 RE. (Stützstellenzahl 2500).

Fläche zwischen zwei Funktionen
Sehr oft ist es notwendig, Flächeninhalte zwischen zwei Funktionen zu berechnen. Dazu ist es möglich, in der Eingabezeile g(x) eine zweite Funktion zu definieren. Die gesuchte Fläche wird dann für die Differenz f(x) – g(x) in dem jeweiligen Intervall ermittelt – erneut absolut bzw. orientiert. Von Bedeutung sind dabei u.a. auch die Flächen zwischen den Schnittpunkten beider Funktionen.

Betätigen Sie den Schalter Stammfunktionen werden in den zwei Listen die Schnittstellen (Abszissen) von f(x) und g(x) im eingestellten Intervall angezeigt. Wurde für g(x) keine Funktion festgelegt, berechnet das Programm die Schnittstellen mit der x-Achse, also die Nullstellen der Funktion f(x).

Ist der Eintrag Schnittpunkte in der Optionsliste ausgewählt, kennzeichnet das Programm die ermittelten Punkte auch in der grafischen Darstellung.

Zur Berechnung der Fläche können Sie nun die Intervallgrenzen in der linken Liste für den Anfang und rechts für die obere Grenze einstellen. Klicken Sie dazu auf den gewünschten Zahlenwert. Voreingestellt ist ein Integrationsintervall von a= und bis b=, d.h. das zuvor eingegebene Gesamtuntersuchungsintervall wird genutzt.

Beachten Sie bitte, dass der Intervallanfang kleiner gleich dem Intervallende sein muss. Ist dies nicht der Fall, vertauscht das Programm beide Werte ohne zusätzliche Meldung.

Für das obige Beispiel erhalten Sie im Suchintervall von -5 bis 5 für keine angegebene Funktion g(x) die Schnittstellen -3.141593, 0 und 3.141593. Wählen Sie als untere Grenze 0 und als obere 3.141593 ermittelt das Programm:

Absolute Fläche Orientierte Fläche Bogenlänge Schwerpunktskoordinaten
4 FE 4 FE 5.27 LE 1.57; 0.79

Integralrechung 3Das zweite Beispiel (siehe Abbildung) demonstriert die Flächenstücke zwischen den Funktionen Y=F(X)=X*SIN(X) und Y=G(X)=X. Die gefundenen Werte sind 5,13 FE absolute Fläche, 2,35 FE orientierte Fläche, 4,96 π RE Volumen des Rotationskörpers um die x-Achse und 16.71 π bzw. 22.34 π um die y-Achse.

Zu beachten ist hierbei, dass die Funktionen f(x) und g(x) nur dann in der grafischen Darstellung gezeichnet werden, wenn deren Einträge in den Markierungsfeldern Darstellung von gewählt wurden. Nur bei eingeschaltetem Eintrag Fläche füllen wird die zu berechnende Fläche eingefärbt.

Weiterhin werden die Bogenlängen der Funktionen f(x) und g(x) für das eingestellte Intervall sowie die statischen Momente der Fläche bzgl. beider Koordinatenachsen und die statischen Momente der Kurve von f(x) bezogen auf beide Koordinatenachsen berechnet.

Wird für g(x) keine Funktion gewählt, ermittelt das Programm die Mantelfläche des Rotationskörpers um die x-Achse. Tritt im Berechnungsintervall kein Vorzeichenwechsel zwischen den Funktionen f(x) und g(x) auf, erhalten Sie zusätzlich die Koordinaten des Schwerpunktes der eingeschlossenen Fläche. Zur Erklärung der mathematischen Hintergründe lesen Sie bitte in der Formelsammlung des Programms nach.

Beachten Sie bitte: Zur Berechnung der Bogenlänge bestimmt das Programm die jeweils 1. Ableitungen der Funktionen f(x) und g(x). Sind diese im Integrationsintervall (auch die Grenzen!) nicht voll differenzierbar, kann der ermittelte Wert der Bogenlänge erheblich vom tatsächlichen abweichen. Ist die Funktion f(x) insbesondere an den Intervallgrenzen nicht definiert, können die angezeigten Ergebnisse ungenau sein. In diesem Fall sollten Sie im Unterprogramm Numerische Integration das gesuchte Integral über Gauß-Legendre-Formeln ermitteln, welche die Randstellen nicht nutzen.

Stammfunktionen
Für einige ausgewählte Funktionstypen ermittelt das Programm symbolisch, sprich analytisch, eine Stammfunktion. Nach Betätigung des Schalters Berechnung bzw. Stammfunktionen werden f(x) und g(x) analysiert und im Erfolgsfall unter F(x) und G(x) jeweils eine Stammfunktion (ohne Integrationskonstante) angezeigt. Wünschen Sie nur die Integration ohne numerische Berechnung der Flächen usw., nutzen Sie bitte den Schalter Stammfunktionen.
Wählen Sie die Einträge Stammfunktion F(x) und Stammfunktion G(x) in der Optionsliste, werden auch beide Stammfunktionen in der grafischen Darstellung gezeichnet.

Beispiel: Das Teilprogramm ermittelt

Funktion f(x) Stammfunktion
(2*X-4)^3 (2*X-4)^4/8
X^2+SQRT(X^2+4) X^3/3+(X*SQRT(X^2+4)+4*ARSINH(X/2))/2
SQRT(4-X^2)+SQRT(X^2+4) (X*SQRT(4-X^2)+4*ARCSIN(X/2))/2+(X*SQRT(X^2+4)+4*ARSINH(X/2))/2
SIN(3*X)*COS(2*X) -COS(5*X)/(10)+COS(X)/(-2)
X^2*EXP(4*X) EXP(4*X)*(X^2/4-2*X/16+0.03125)
(X^2+1)/(X^2-1) LN((X-1)/(X+1))+X
(X^2+X)/(X^2-1) LN(X-1)+X
X^2*SIN(X) (2-X^2)*COS(X)+2*X*SIN(X)
X^3-3*X^2-X+1 X^4/4-(X^3)-(X^2/2)+1*X

Findet das Programm keine Lösung oder lässt sich das Integral überhaupt nicht vollständig analytisch auflösen, erhalten Sie die Meldung Noch nicht bestimmbar.

Rotationskörper
Nach durchgeführter Integration Ihrer Funktionen können Sie sich auch den entstehenden Rotationskörper bei der Rotation der berechneten Fläche um die x-Achse anzeigen lassen.

Stammfunktionsbibliothek
Das Programm ist in der Lage, für eine umfangreiche Menge von Funktionen symbolisch eine Stammfunktion zu bestimmen. Allerdings ist dies im Moment aus programmtechnischen Gründen noch nicht für alle integrierbaren Funktionen realisiert. Deshalb haben Sie die Möglichkeit, das Programm selbst „etwas intelligenter“ zu machen.

Wird keine Stammfunktion gefunden, Sie selbst können sie aber ermitteln (unter Umständen hilft die Formelsammlung), dann tragen Sie diese unter F(x) oder G(x) ein und betätigen den zugehörigen Schalter +.
Daraufhin übernimmt das Programm Ihre Eingabe in die Stammfunktionsbibliothek und ist ab sofort in der Lage, die gewünschte Funktion f(x) symbolisch zu integrieren.