Iteriertes Funktionensystem

„Das wird ja immer merkwürderlicher!“ schrie Alice
Lewis Carroll, „Alice im Wunderland“

Iteriertes FunktionensystemMichael Barnsley (Georgia Institute of Technology) entwickelte ein spezielles Verfahren zur Kompression von Darstellungen natürlicher Gebilde auf der Basis von Fraktalen.
Prinzipiell kann für jede Darstellung eine Fraktal-Kompression (Iterated Function System) gefunden werden.

Das Programm enthält über 40 verschiedene Fraktale des Typs IFS, u.a. Fern (zu Deutsch: Farn), dessen Bild die Darstellung eines Farns simuliert.

Zweidimensionale IFS entstehen durch multiplikative Verknüpfung quadratischer Matrizen mit Spaltenvektoren (affine Transformationen). Die jeweilige Matrix des Index i wird durch zufällige Wahl aus einer gewissen Grundgesamtheit gebildet. Das obige Gebilde eines Farns entsteht durch die Parameter (Parameter der affinen Transformation) der Form

    \[ \left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}e\\f\end{array}\right) \]

wobei x, y die Ausgangskoordinaten und x‚ und y‚ die Bildkoordinaten sind mit den Parametern:

a(i) 0.85 0.2 -0.15 0
b(i) 0.04 -0.26 0.28 0
c(i) -0.04 0.26 0.23 0
d(i) 0.85 0.22 0.24 0.16
e(i) 0 0 0 0
f(i) 1.6 1.6 0.44 0

Sie können wählen unter:

  • Farn … Simulation eines Farnblattes
  • Floor … Grundriss einer Wohnung
  • Spirale … Spiralförmige Anordnung
  • Koralle … Korallenstock
  • Binär … Binäres Muster
  • Kristall … Kristallines Muster
  • Drache … Muster in Form eines „Drachen“
  • Swirl5 … Spiralförmiges Muster usw.usf.,

wobei Sie bei einigen der entstehenden Bilder etwas Phantasie benötigen … Für die grafische Darstellung wählen Sie den entsprechenden Schalter. Die Anzahl der Iterationen können Sie in der Eingabezeile (Vorgabe 200000) verändern. Die Darstellung kann verschiedenfarbig erfolgen. Voreingestellt ist, dass aller 100 Iterationen zufällig eine neue Farbe genutzt wird.

Interessant ist es auch, sich die Wirkung der einzelnen affinen Abbildungen veranschaulichen zu lassen. Markieren Sie dazu den Punkt farbige Abbildung darstellen.
Wollen Sie nur eine der Abbildungen hervorheben, so markieren Sie in der Tabelle der Parameter die entsprechende Abbildung. Optisch anspruchsvolle Abbildungen erhalten Sie auch, wenn Sie den Zeichenhintergrund auf Schwarz schalten.

Die besondere Bedeutung von IFS besteht in der Möglichkeit, beliebige Bilder auf diese Weise zu komprimieren. Die Problematik besteht im Auffinden der entsprechenden affinen Transformationen (es gibt unendlich viele!). Das von Barnsley entwickelte Computerprogramm „POEM Images Incorporated“ erreicht Komprimierungsraten über dem Faktor 100.

Verändern der IFS-Tabelle
Wählen Sie ein IFS-System, zeigt Ihnen das Programm die entsprechende Matrixtabelle an. Möchten Sie etwas „experimentieren“, dann verändern Sie einzelne Werte und beobachten die Veränderung der Darstellung. Die IFS-Tabelle können Sie über das Markierungsfeld Editor abschalten zu- und wegschalten.