Kartenexperiment

KartenexperimentAls weiteres Zufallsexperiment können Sie unter diesem Punkt das Ziehen einer Anzahl von Karten aus einem Kartenspiel simulieren, ein Kartenexperiment. Vor Beginn der Simulation legen Sie fest:

  • Kartenanzahl: entweder Skatblatt (mit 4 x 8 = 32 Karten) oder Bridgekarten-Set (d.h. halbes Rommékarten-Set) (mit 4 x 13 = 52 Karten)
  • Anzahl der bei jedem Versuch gezogenen Karten (von 1 bis maximal 12)
  • Art der Ziehung (Schaltfeld Ziehen mit Karten zurücklegen): Entweder wird jede einzelne Karte sofort wieder zurückgelegt oder erst nachdem die festgelegte Anzahl vollständig gezogen wurde. Ziehen ohne Zurücklegen bedeutet praktisch, dass die Anzahl von Karten auf einmal aus dem Kartenstapel entnommen wird.
  • Schrittweite: Dieser Wert legt fest, alle wie viel Durchläufe des Experiments die gezogenen Karten sowie die aktuellen Ergebnisse angezeigt werden. Wählen Sie einen kleinen Wert (< 100), läuft die Simulation deutlich langsamer ab, da der Computer viel Zeit für die Darstellung der Karten benötigt.

Anschließend legen Sie das jeweilige Zufallsexperiment fest. Ergänzen Sie dazu den Satz

Wahrscheinlichkeit, dass beim Ziehen von ___ Karten genau (oder mindestens)
__ A __ 2 __ 3 __ 4 __ 5 __ 6 __ 7 __ 8 __ 9 __ Z __ B __ D __ K
__ rote __ schwarze
enthalten sind.

Möchten Sie zum Beispiel experimentell die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass unter sechs gezogenen Karten aus einem Skatblatt genau vier Asse enthalten sind, so geben Sie vor A die Zahl 4 ein. Für die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebige gezogene Karte schwarz ist, setzen Sie z.B. die Kartenzahl auf 1 und tragen vor schwarz ebenso eine 1 ein.

Wählen Sie nun den Schalter Experiment starten, simuliert das Programm dieses Experiment. Entsprechend der von Ihnen eingestellten Schrittweite stellt das Programm die gezogenen Karten sowie die Auswertung dar. Dabei werden die Karten nur dargestellt, wenn Sie das Feld Karten darstellen markieren. Werden die Karten abgebildet, sinkt die Geschwindigkeit des Experiments deutlich.

Ist das Feld Experiment neu starten markiert, so beginnt das Programm nach dem Klicken auf Experiment starten wieder bei Null zu zählen. Entfernen Sie die Markierung, wird nach einer Unterbrechung bei den schon gefundenen Werten fortgesetzt.

In der Auswertung finden Sie die durchgeführten Ziehungen, die Anzahl der eingetretenen Treffer sowie deren prozentuale Häufigkeit. Nach dem Gesetz der großen Zahl nähert sich dieser Wert für wachsende Ziehungszahlen der Wahrscheinlichkeit des Eintreffens Ihres Experiments an. Abbrechen können Sie die Simulation durch Betätigung des Stopp-Schalters oder der ESC-Taste.

Zusätzlich ermittelt das Programm die längste Phase hintereinander ermittelter Treffer sowie die längste Phase von nur roten bzw. schwarzen gezogenen Karten. In Klammern erhalten Sie als ersten Wert die genäherte Wahrscheinlichkeit, dass bis zu diesem Zeitpunkt genau diese Länge der Phase zu erwarten ist, als zweiten Wert die Wahrscheinlichkeit, dass eine um 1 größere Phasenlänge zu erwarten ist.

Dieses Zufallsexperiment kann als eine Bernoulli-Kette der Länge 8 mit einer theoretischen Wahrscheinlichkeit p = 1 / 8 (4 Asse unter den 32 Karten) angesehen werden. Damit liegt eine Binomialverteilung vor. Tragen Sie im Teilprogramm Diskrete Verteilung n = 8 und p = 1 / 8 ein, so ermittelt das Programm die Wahrscheinlichkeit, dass genau vier Asse auftreten zu P(X = 4) = 0.01001775. Damit weicht das empirisch gefundene Ergebnis von 0.0095514 nur wenig vom zu erwartenden Wert ab.

Beispiel: Auf die Frage
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 7 auf einmal gezogenen Skatkarten, d.h. ohne Zurücklegen, mindestens 5 rote Karten enthalten sind?
ermittelt das Programm nach 25000 Ziehungen eine genäherte Wahrscheinlichkeit von 19,22%.

Wollen Sie das Ergebnis theoretisch überprüfen, so müssen Sie beachten, dass das Ziehen ohne Zurücklegen eine hypergeometrische Verteilung bedeutet. Tragen Sie im Teilprogramm Diskrete Verteilung die Parameter 32 (die Kartenzahl) in Anzahl der Kugeln, 16 (die Anzahl der roten Karten) in … davon weiße Kugeln und 7 (die Anzahl der gezogenen Karten) in Stichprobenumfang ein, berechnet das Teilprogramm für die Grenzen a = 5 und b = 7, d.h. mindestens 5 rote Karten, die Wahrscheinlichkeit P(5 <= X <= 7) = 19.71%, also erneut eine gute Übereinstimmung.