Kepler-Gleichung

Für die Herleitung des 2.Bewegungsgesetzes („Die Fahrstrahlen der Planeten überstreichen in gleichen Zeiträumen die gleichen Flächen.“) stieß Kepler auf das Problem, die Fläche eines Ellipsensektors in der Brennpunktsform zu berechnen.

Kepler-GleichungKepler zeichnete einen Umkreis der Ellipse mit dem Radius der großen Halbachse a.
Für einen Punkt P auf der Ellipse und einen Punkt P‘ auf dem Umkreis, die beide auf einer Sehne parallel zur kleinen Halbachse b liegen, gilt

    \[ x_P=x_{P'} \quad und \quad y_P=\frac{b}{a}y_{P'} \]

Das Kreissegment MSP‘ hat die Fläche

    \[ F_{MSP'}=\pi a^2\frac{E}{2\pi} \]

Kepler nannte den Winkel E exzentrische Anomalie. Aufgrund der Affinität von Ellipse und Kreis wird dann

    \[ F_{MSP}=\pi a b\frac{E}{2\pi}=a b\frac{E}{2} \]

Die Fläche des Ellipsensegments FSP ergibt sich durch Abzug der Dreiecksfläche Δ MFP: F_{\Delta}=\frac{1}{2}ey_P
Auf Grund der Affinität wird mit

    \[ y_P=\frac{b}{a}y_{P'}=\frac{b}{a}a\sin{E}=b\sin{E} \]

    \[ F_{\Delta}=\frac{1}{2}e(\frac{b}{a})a\sin{E}=\frac{1}{2}eb\sin{E} \]

    \[ F_{FSP}=ab\frac{E}{2}-\frac{1}{2}eb\sin{E}=\frac{b}{2}(aE-e\sin{E}) \]

Für die blaue Kreissegmentfläche FFSP‘

    \[ F_{FSP'}=\frac{a}{b}F_{FSP}=\frac{a}{2}(aE-e\sin{E}) \quad(*) \]

Bewegt sich Punkt P‘ auf dem Kreis wie Punkt P auf der Ellipse, so verändert sich die Kreissegmentfläche mit dem Winkel am Brennpunkt P’FS, den Kepler mittlere Anomalie M nannte.

    \[ F_{SFP'}=\pi a^2\frac{M}{2\pi}=\frac{M}{2}a^2 \quad(**) \]

Gleichsetzen der Gleichungen (*) und (**) führt zu

    \[ \frac{a}{2}(aE-e\sin{E})=\frac{M}{2}a^2 \]

    \[ M=E-\frac{e}{a}\sin{E} \]

der Keplersche Gleichung. \frac{e}{a} ist die numerische Exzentrizität ε der Bahn.
Diese transzendente Gleichung ist nicht nach E auflösbar und kann nur iterativ gelöst werden.

In diesem Teilprogramm kann diese Gleichung in der umgestellten Form

    \[ x=a+b\sin{x} \]

näherungsweise gelöst werden. Dazu sind Werte für a und b einzugeben.

Klicken Sie auf den Schalter Berechnung, so sucht das Programm alle Lösungen im eingegebenen Intervall. Gleichzeitig stellt das Programm die zugehörige Funktion

    \[ y=a+b\sin{x}-x \]

dar.
Neben der Keplerschen Gleichung gibt es weitere transzendente Gleichungen, die nur näherungsweise gelöst werden können. Diese wählen Sie unter Gleichungstyp aus.