Keplersche Gesetze

Keplersche GesetzeAnfang des 17.Jahrhunderts fand der große deutsche Astronom Johannes Kepler die nach ihm benannten Bewegungsgesetze der Planeten.

1. Keplersches Gesetz: Die Planeten bewegen sich in elliptischen Bahnen. In einem ihrer Brennpunkte befindet sich die Sonne.
2. Keplersches Gesetz: Der Leitstrahl von der Sonne zum Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. Folgerung: Der Planet bewegt sich in Sonnennähe schneller als in Sonnenferne.
3. Keplersches Gesetz: Der Quotient aus dem Quadrat der Umlaufzeit eines Planeten und der dritten Potenz dessen großer Halbachse ist für alle Planeten gleich groß: T2 : a3 = konstant

HerleitungIn diesem Teilprogramm werden diese drei Gesetze grafisch veranschaulicht. Wählen Sie zuerst, welches Gesetz gezeigt werden soll.
An dem Rollbalken Exzentrizität stellen Sie die numerische Exzentrizität der Planetenbahn ein, unter Anomalie die Lage des Planeten auf seiner Bahn. Starten Sie die Animation, so wird der Planet um die Sonne bewegt.

Bei der Demonstration des 2. Gesetzes, werden während eines Umlaufs zwei Flächen farbig markiert, für die der Strahl von der Sonne zum Planeten gleiche Zeit benötigt. Diese zwei Ellipsenbereiche sind flächengleich.

Beim 3.Gesetz wird ein zweiter Planet eingezeichnet. Dieser hat eine derartige Halbachse im Vergleich zum ersten Planeten, dass die Umlaufzeit gerade halb so groß ist.

Die Bewegung des Planeten wird direkt aus dem Winkel bzgl. Ellipsenmitte und der Exzentrizität der Bahn berechnet. Beim 2. Gesetz, dem Flächensatz, werden die 2 gleich großen Ellipsensegmente durch Zeitmessung während der Simulation bestimmt. Dies ist problematisch, da die Berechnung des Ellipsenbogens aus der Fläche des Ellipsensegments nicht einfach ist.

AnomalieIm Programm wird die Kepler-Gleichung benötigt.
Dabei ist die exzentrische Anomalie der Winkel E zwischen der großen Halbachse und einem durch den Ellipsenmittelpunkt O gehenden Kreisradius (Kreisradius = große Halbachse). Dieser Radius schneidet den Kreis in dem Punkt, welcher durch eine Senkrechte durch den gegebenen Ellipsenpunkt P geschnitten wird.
Die mittlere Anomalie M kann geometrisch interpretiert werden und entspricht dem Flächeninhalt der in der Abbildung gelb gefärbten Fläche.
Die Kepler-Gleichung ist M = E – e sin E leider nicht analytisch lösbar. Daher benötigt man eine Näherungslösung.

Keplersche Gesetze

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