Kleines Sterndodekaeder

Kleines SterndodekaederDer große deutsche Mathematiker und Astronom Johannes Kepler veröffentlichte 1619 sein Hauptwerk „Harmonices mundi“.

Im 2. Buch, dem „Architektonischen oder dem auf der figürlichen Geometrie beruhenden Buch“, untersucht Kepler die Kongruenz der „harmonischen Figuren“. Damit wird der Fragestellung nachgegangen, inwieweit reguläre Figuren die Ebene um einen festen Punkt herum lückenlos ausfüllen oder geschlossene Raumfiguren bilden können. Bei den räumlichen Kongruenzen führt Kepler zwei Sternpolyeder ein, die er als vollkommene reguläre Kongruenzen auffasst. Eines der beiden Sternpolyeder ist das kleine Sterndodekaeder.

Kepler-DarstellungDas kleine Sterndodekaeder oder zwölfeckige Sternzwölfflach besitzt als Seiten zwölf kongruente regelmäßige Sternfünfecke, die zu je fünf an jeder Ecke zusammentreffen. Das Polyeder hat 12 Seitenflächen, 12 Ecken und 30 Kanten.

Die Eckpunkte stimmen mit den Eckpunkten des Ikosaeders überein. Zur Konstruktion des kleinen Sterndodekaeders beginnt man daher mit den zwölf Eckpunkten des Ikosaeders.
Die 30 Kanten entstehen durch Verbinden einer Ecke mit den fünf der Ecke nächstliegenden Eckpunkten. Je fünf dieser Kanten liegen in einer Ebene senkrecht zu einer Eckpunkt-Eckpunkt-Achse des Ikosaeders und bilden in dieser Ebene ein reguläres Sternfünfeck. Diese Sternfünfecke sind die Seiten des kleinen Sterndodekaeders. Die Symmetriegruppe entspricht der Ikosaeder-Gruppe A5.
Die Euler-Charakteristik ist -6, d.h. das nicht konvexe Polyeder entspricht nicht dem Eulerschen Polyedersatz.

Ist die Seitenlänge der Fünfecke am Grund einer „Spitze“ gleich a, so wird

Oberfläche A=15\sqrt{5 + 2\sqrt{5}}a^2 \approx 46,1652 a^2
Volumen V =\frac{5}{4}(7 + 3\sqrt{5}) a^3 \approx 17,1352 a^3

Der Umkugelradius dieses Sternpolyeders beträgt, wenn die Seitenlänge der Fünfecke am Grund einer „Spitze“ gleich a ist:

Umkugelradius R = \frac{\sqrt[4]{5}}{4} \sqrt{2\sqrt{5} - 2} a \approx 0,587785 a
Mittelkugelradius \rho = \frac{a}{4} (\sqrt{5}- 1) \approx 0,30901699 a
Inkugelradius r = \frac{1}{20}\sqrt{10 (5 -\sqrt{5})} a \approx 0,26286556 a

Die Höhe der Spitzen; auf einem Dodekaeder der Seitenlänge a errichtet; ist

Höhe h = \sqrt{1 + \frac{2}{5} \sqrt{5}} a \approx 1,37638 a

Künstlerische Darstellungen

Das kleine Sterndodekaeder wurde auch von Künstlern in verschiedenen Werken genutzt.
Eines der berühmtesten ist „Gravitation“ von dem niederländischen Grafiker M.C.Escher.
Die 29,7 × 29,7 cm große Lithografie wurde 1952 zuerst schwarz-weiß gedruckt, später mit Wasserfarben nachkoloriert. Jede Seite des Sterndodekaeders hat eine halbrechteckige Tür. Aus diesen Türen ragen die Füße von 12 Schildkröten, die das Sterndodekaeder als gemeinsamen Panzer benutzen.
Die Schildkröten sind in sechs verschiedenen Farben entgegengesetzt dargestellt.

San MarcoEine Darstellung des Polyeders findet man als Mosaik (1430, Paolo Uccello) im Eingangsbereich von San Marco (Venedig).
Dieses Polyeder ist das „schönste Polyeder aller Zeiten“. Es vereint Mathematik mit Kunst und Schönheit.

Und daher ist dieses Sternpolyeder das Icon des Mathematikprogramms „Mathematik alpha“.