Kurven 2.Ordnung

Eine besondere Form der mathematischen Kurven stellen die sogenannten Kegelschnitte oder Kurven der 2. Ordnung dar. Diese entstehen, wie der Name schon sagt, beispielsweise dadurch, dass ein gerader Kreiskegel von einer Ebene geschnitten wird. Die Randlinien der Schnittflächen stellen dann die sogenannten Kegelschnitte dar. Die bekanntesten Schnittgebilde sind die Ellipse, der Kreis, die Parabel und die Hyperbel.
In diesem Programmpunkt ist es möglich, beliebige Parameter für die allgemeine Gleichung der Kurven 2. Ordnung

    \[ A X^2+B X Y+C Y^2+D X+E Y+F=0 \]

einzugeben. Die Parameter A bis F sind dabei beliebige reelle Zahlen. Je nach Wahl dieser Koeffizienten beschreibt die Gleichung dann eine Ellipse, Parabel, Hyperbel (klassische Kegelschnitte) oder einen entarteten Kegelschnitt, z.B. zwei sich schneidende Geraden. Ist der zweite Koeffizient B = 0, sind die Kurven 2. Ordnung parallel zu den Koordinatenachsen ausgerichtet, andernfalls um einen Winkel gedreht.
Entartete Kurven 2. Ordnung, deren Parameter A, B und C gleichzeitig 0 sind,
werden hier nicht analysiert.

Nach einer Hauptachsentransformation, d.h. die Kegelschnitte werden parallel zu den Achsen gedreht, wird die Normalform

    \[ a X^2+b Y^2+c X+d Y+e=0 \]

sowie der für die Achsentransformation notwendige Drehwinkel α angezeigt. Anschließend analysiert das Programm nach Entfernung der linearen Glieder aus der Gleichung den Kegelschnitt.

Liegt ein nicht entarteter Kegelschnitt vor (Ellipse, Hyperbel bzw. Parabel), werden die entsprechenden Parameter wie Mittelpunkt M, große und kleine Halbachse a und b, Halbparameter p sowie lineare e und numerische Exzentrizität ε ermittelt. Für eine Ellipse oder eine Hyperbel berechnet das Programm außerdem genau einen der Brennpunkte. Die Ergebnisse können gedruckt und in die Zwischenablage kopiert werden.

Wünschen Sie nur die Auswertung der Gleichung, dann nutzen Sie den Schalter Berechnung. Soll der Kegelschnitt dargestellt werden, wählen Sie den Schalter Darstellung.

Liegt eine Hyperbel achsenparallel (Parameter B = 0), ruft die Wahl des Markierungsfeldes Hyperbelasymptoten die Darstellung der Hyperbelasymptoten auf.

Die Kegelschnitte werden als Kurven gezeichnet, d.h., das im Teilprogramm Kurven eingestellte Intervall des Parameters K wird genutzt. Dies können Sie ändern, indem Sie in die Eingabezeilen von, bis und mit Schrittweite von die neuen Werte eintragen.

Abbildung: Ellipse 0=x^2+xy+y^2-4 mit einem Mittelpunkt bei (0;0) und den Halbachsen a=1.63 und b=2.83; Drehwinkel 45°; numerische Exzentrizität ε = 0.816, lineare Exzentrizität e = 2.31, Brennpunkt F1 bei (-1.63 ; 1.63), Parameter 2p = 9.8; Normalform nach Koordinatentransformation 0=1.5 x^2+0.5 y^2-4.
Ändern Sie den Koeffizienten C auf -1, erhalten Sie eine Hyperbel.

Beachten Sie: Unter gewissen Umständen können im Grenzfall interne Rundungen der Werte die Analyse verfälschen. Zum Beispiel erhalten Sie für die Gleichung -x^2 + 3xy - y^2 - x - y + 1 = 0 die Analyse „Hyperbel“. Tatsächlich zieht sich der Kegelschnitt jedoch zu dem Punkt (1;1) zusammen.
In der Darstellung sehen Sie den Verlauf dieser Hyperbel für F = 0.999. Für F = 0.9999 nähern sich die Hyperbeläste noch stärker den Geraden Y = 1 und X = 1. Für den oben genannten Wert F = 1 verschwindet die Darstellung, der Kegelschnitt entartet.

In Analogie zu den Hinweisen im Teilprogramm Mathematische Kurven, können Sie auch hier eine spezielle Beschriftung von neun Punkten zu- und abschalten. Markieren Sie den Punkt spezielle Punktbeschriftung, trägt das Programm in der grafischen Darstellung die Punkte des Kegelschnitts ein, die in der  Polarkoordinatendarstellung der Kurve durch den Winkel W bestimmt werden, für welchen W ganzzahlige Teile von π beträgt.
Ermittelt das Programm eine Ellipse oder Hyperbel, so werden dafür in der grafischen Darstellung der berechnete Mittelpunkt und der eine Brennpunkt besonders markiert.

Weiterhin stellt das Programm bei jeder Änderung eine erste Vorschaugrafik dar, die Ihnen das spätere Ergebnis zeigt. Für eine exakte grafische Darstellung mit allen Zusatzmöglichkeiten (u.a. Speichern, Drucken, Animation …) klicken Sie auf den Schalter Darstellung.