Lineare Ungleichungen

Lineare UngleichungenLineare Ungleichungen der Form a x + b y > c haben im Normalfall unendlich viele Paare reeller Zahlen als Lösung. Diese Lösungen können sehr schön grafisch veranschaulicht werden.

Dazu stellt man die Ungleichung nach y um, d.h. y > c/ b -a / b x, und stellt die lineare Funktion y = c / b -a / b x dar. Die Koordinaten aller Punkte der Koordinatenebene, die über der Geraden liegen, da y > c / b -a / b x, stellen dann Lösungen der Ungleichung dar.

Für die verschiedenen Relationszeichen gilt dann:

  • Zeichen „>“ … alle Punkte über der linearen Funktion
  • Zeichen „>=“ … alle Punkte über der linearen Funktion und die Punkte der Funktion
  • Zeichen „<“ … alle Punkte unterhalb der linearen Funktion
  • Zeichen „<=“ … alle Punkte unterhalb der linearen Funktion und die Punkte der Funktion

erfüllen die Ungleichung.
Betrachtet man nun mehrere Ungleichungen gleichzeitig, d.h. ein System von Ungleichungen, so überlappen sich die Lösungsmengen.

ungl2Im Beispiel sind die zu den Ungleichungen

y ≥ 2x – 1
y ≥ -x – 0.3
y ≤ -0.3x + 3.1

gehörenden linearen Funktionen eingezeichnet. Dabei entspricht die rote Gerade der 1. Ungleichung, die blaue der zweiten und die grüne der dritten. Aufgrund der Relationszeichen müssen dann Lösungen des Ungleichungssystems oberhalb der roten und blauen Gerade und unterhalb der grünen liegen, in diesem Beispiel also innerhalb des von den Geraden aufgespannten Dreiecks.

Interessiert man sich ausschließlich für ganzzahlige Lösungen (markiertes Feld natürliche Lösungspaare anzeigen), so zeichnet das Programm die Punkte mit ganzzahligen Koordinaten als gelbe Punkte ein. Im Beispiel wären u.a. die Paare (0;0), (1;2), (1;1) ganzzahlige Lösungen.

In diesem Programmteil können Sie bis zu drei Ungleichungen festlegen. Dazu schalten Sie die Markierung bei Gerade 1 bis 3 zu bzw. ab. Die Parameter der Ungleichung, der Anstieg m der zugehörigen Geraden und die Verschiebung auf der y-Achse stellen Sie an je zwei Rollbalken ein. Klicken Sie auf ein Relationszeichen einer Ungleichung, so wird dieses von kleiner-gleich auf größer-gleich umgeschaltet bzw. umgekehrt.

Das Programm stellt sofort die linearen Funktionen dar und markiert den Lösungsbereich (Markierung: farbige Lösungsmenge). Haben Sie mehrere Ungleichungen ausgewählt, erhalten Sie Darstellungen wie oben gezeigt.
Die Größe des Koordinatensystems können Sie an den Schaltern in der oberen Schalterleiste verändern.