Lineares Gleichungssystem

Lineares GleichungssystemDieses Unterprogramm ermöglicht die Lösung eines linearen Gleichungssystems bis zum 10. Grad sowie unter- bzw. überbestimmter linearer Gleichungssysteme.

Nach der Auswahl des Grades des Gleichungssystems (bis 10. Grad; 1. Grad bedeutet eine einzelne Gleichung) an den Pfeilschaltern können die Koeffizienten sowie die Absolutglieder der Gleichungen

    \[ a_1x_1+a_2x_2+...+a_9x_9+a_{10}x_{10}=b \]

eingegeben werden. Als Werte sind reelle Zahlen zulässig. Die Anzahl der Gleichungen und der Variablen können unabhängig voneinander festgelegt werden.

Beachten Sie bitte: Ein häufige Quelle für fehlerhafte Berechnungen ist die Nichtbeachtung der Tatsache, dass die absoluten Glieder b in der Berechnung durch das Programm rechts vom Gleichheitszeichen stehen müssen.

Bei Betätigung des Schalters Berechnung werden die Lösungen des Systems in einer Liste unter x1 bis x10 angezeigt. Ist das Programm nicht in der Lage, eine eindeutige Lösung zu ermitteln, wird automatisch auf die Lösung eines unter- bzw. überbestimmten Systems geschaltet. Gelingt es auch dort nicht, eine Lösung zu finden, erhalten Sie die Meldung: Keine eindeutige Lösung

Unter- und überbestimmte lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme sind im Allgemeinen nur dann eindeutig lösbar, wenn n Variablen in genau n Gleichungen verknüpft sind und diese weder linear abhängig sind, noch sich gegenseitig widersprechen. Besitzt das System nicht genau eine Lösung, so ist es unter- bzw. überbestimmt.

Unterbestimmtes System

Sind n linear unabhängige, sich nicht widersprechende Gleichungen gegeben, welche m (m > n) Variablen enthalten, können für m-n Variablen reelle Parameter p1, p2 … gewählt werden. Damit existieren unendlich viele Lösungen des Systems. Rechentechnisch nutzt man zur Lösung derartiger Systeme spezielle Varianten des Gauß-Jordan-Verfahrens.

In dem Programm werden in diesem Fall für die ersten n Variablen xi reelle Werte ermittelt, für die weiteren m-n Variablen deren Werte auf Null gesetzt. Innerhalb einer Klammer erhalten Sie die reellen Faktoren der Parameter p1, p2

Beispiel 1 (unterbestimmtes System): Das mitgelieferte Beispiel (in der aufklappbaren Liste auswählen) enthält ein System bestehend aus drei Gleichungen mit vier Variablen, wobei jedoch die dritte Gleichung von den anderen zwei linear abhängig ist, d.h., es müssen zwei Parameter gewählt werden:

2x1 + 4x2 + 3x3 + x4 = 22
5x1 + 5x2 + 5x3 + 2x4 = 40
3x1 + x2 + 2x3 + x4 = 18

Das Programm ermittelt als Lösung:

x1 = 5 -0.5e -0.3f ; x2 = 3 -0.5e -0.1f ; x3 = e ; x4 = f

wobei e und f frei wählbare reelle Zahlen sind. Zum Beispiel wären die Tupel (5;3;0;0) und (4.2;2.4;1;1) Erfüllungen dieses Systems. Ändern Sie die 3. Gleichung in 3x1 + 2x3 + x4 = 18, besteht die lineare Abhängigkeit nicht mehr, wodurch nur noch ein Parameter frei ist. Sie erhalten:

x1 = 2 -0.2e ; x2 = 0 ; x3 = 6 – 0.2e ; x4 = e

Ändern Sie die 3. Gleichung in 3x1 + x2 + 2x3 + x4 = 19, erhalten Sie die Fehlermeldung: Keine eindeutige Lösung, da sich nun die drei Gleichungen widersprechen.

Überbestimmtes System

Widersprechen sich einzelne Gleichungen Ihres Systems, existiert kein Tupel von Zahlen, die das System erfüllen. Insbesondere tritt dies auf, wenn die Zahl der Unbekannten geringer als die Zahl der Gleichungen ist, z.B. bei Problemen der Ausgleichsrechnung physikalischer, technischer oder biologischer Prozesse.
In diesem Fall erfolgt die Suche nach einer Pseudolösung des Systems Am;n xm = bn, d.h. nach einem Lösungsvektor x0, für den die Eulersche Vektornorm ein Minimum annimmt. Das Programm analysiert ein überbestimmtes System nur, wenn die Anzahl der Gleichungen die Anzahl der Variablen übersteigt.

Nach der Koeffizienteneingabe und Berechnung erhalten Sie die Pseudolösung angezeigt. Zusätzlich meldet das Programm den Wert der Eulerschen Norm, die Güte des gefundenen Tupels. Je kleiner dieser Wert ist, desto besser erfüllt der Vektor das Gleichungssystem.

Beispiel 2 (überbestimmtes System): Als weiteres Beispiel (in der aufklappbaren Liste auswählen) finden Sie ein System 4. Grades mit sieben Gleichungen:

x1 + 2x2 + 4x3 + x4 = 18
2x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 = 28
4x1 + 2x2 + 4x3 + 2x4 = 28
x1 + 4x2 + x3 + x4 = 27
3x1 + 2x3 + 4x4 = 23
2x1 + 6x2 + 2x3 + x4 = 20
x1 + 2x3 + 2x4 = 5

Da dieses System streng analytisch nicht lösbar ist, ermittelt das Programm die bestmögliche Pseudolösung (2;3;1;4) mit der Eulerschen Norm von 14.2127.
Auf der Festplatte befindliche Gleichungssysteme können Sie mittels laden. Andererseits besteht die Möglichkeit, die Systeme mit zu speichern.

Gauß-Verfahren

Ist Ihr lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar, d.h. weder unter- noch überbestimmt, so wird in der Liste zusätzlich zur Lösung die schrittweise Entwicklung der Diagonalmatrix angezeigt.

Das Programm entwickelt die Matrix in einzelnen Schritten. Bei jedem Schritt wird eine Zeile in der Form bearbeitet, dass in der n-ten Zeile die n-te Variable mit dem Koeffizienten 1 enthalten ist, d.h., die restlichen Zeilen werden sowohl abwärts als auch aufwärts bearbeitet.

Grafische Darstellung

Haben Sie für das lineare Gleichungssystem genau zwei Variablen festgelegt, so kann dieses in einem Koordinatensystem grafisch veranschaulicht werden.
Das Programm interpretiert in diesem Fall x1 als Abszisse x und x2 als Ordinate y. Klicken Sie auf Darstellung, so werden die lineare Funktionen dargestellt.