Ljapunow-Diagramm

f60In der Mathematik sind Ljapunow-Diagramme – nach Alexander Michailowitsch Ljapunow – Fraktale, hergeleitet von einer Erweiterung der logistischen Gleichung, in der der Wachstumsgrad der Population r periodisch zwischen zwei Werten A und B schwankt.
Die logistische Gleichung lautet:

    \[ x_{n+1}= r_nx_n (1 - x_n) \]

mit einem Startwert, der üblicherweise bei x0 = 0,5 gewählt wird.

Dabei wird rn = a oder rn = b für die n-te Iteration der logistischen Gleichung gewählt, je nach dem Wert an der Stelle n in einer unendlichen Folge, die aus der Hintereinanderreihung von einfachen Mustern von Symbolen (a,b) gebildet wird, z. B. mit dem Muster (aababab).

Ljapunow-Diagramme beschreiben die Intensität der Ordnung und des Chaos eines jeden Wertes einer chaotischen Gleichung im zweidimensionalen Raum.
In diesem Teilprogramm werden Ljapunow-Diagramme berechnet.

Geben Sie dazu zuerst eine Folge von a,b ein oder wählen Sie unter Parameter ein voreingestelltes Muster. Über die Parameter a, b stellen Sie die Darstellungsintervalle ein sowie unter Abbildungsgröße die Größe des zu berechnenden Bildes.

Dabei ist zu beachten, dass die Berechnung eines Ljapunow-Diagramms auch auf schnellen Computern sehr viel Zeit benötigt. Zu Beginn sollten Sie eine kleine Abbildungsgröße wählen.

Nach dem Start wird das Bild ermittelt. Wählen Sie nach Beendigung der Rechnung Ljapunow-Diagramm, wird dieses angezeigt.

In den Farbauswahlen für die Bereiche der Ordnung und des Chaos können Sie weitere Parameter einstellen und so farblich anders gestaltete, interessante Abbildungen erhalten.