Logarithmische Spirale

Logarithmische SpiraleDiese Schweizer Briefmarke wurde zum 150-jährigen Bestehen des Schweizerischen Ingenieur- und Architektenvereins SIA herausgegeben und enthält eine interessante mathematische Konstruktion. Die Briefmarke zeigt den Zusammenhang des Goldenen Schnitts mit der Logarithmischen Spirale.

Im Einzelnen ist auf der Marke zu sehen: die Koordinatenachsen als gestrichelte Linien, eine nach dem Goldenen Schnitt konstruierte Folge von sieben Rechtecken und sechs Quadraten, eine Spirale und ein spiraliger Polygonzug. Die Konstruktion soll nun erläutert werden:

Ausgegangen wird von einem Rechteck, dessen Proportionen dem Goldenen Schnitt entsprechen. Die Seitenlängen stehen damit im Verhältnis

    \[ \tau=\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}=\frac{1}{2}(\sqrt5+1)=1,618... \quad("Goldene Zahl") \]

    \[ \sigma=\frac{b}{a}=\frac{1}{2}(\sqrt5-1)=0,618... \]

Teilt man in einem Goldenen Rechteck ein Quadrat ab oder setzt ein Quadrat an die längere Rechteckseite an, so erhält man wieder Rechtecke nach dem Goldenen Schnitt.
HerleitungDiese Konstruktion von immer größeren Rechtecken durch Ansetzen von Quadraten beginnt auf der Briefmarke mit dem kleinen Rechteck, das den Koordinatenursprung enthält. Durch sechsmaliges Ansetzen von Quadraten im Gegenuhrzeigersinn erhält man die sieben Rechtecke mit dem Seitenverhältnis des Goldenen Schnitts.

Wie liegen die Rechtecke und Quadrate zu den Koordinatenachsen und Diagonalen?
Diese Frage kann vollständig mit der Konstruktion eines einzigen Rechtecks und des angrenzenden Quadrats beantwortet werden, z.B. indem man mit dem kleinsten Rechteck beginnt. Man legt ein Rechteck mit den Proportionen des Goldenen Schnitts mit drei Ecken A, B, C auf die Koordinatenachsen.

Es sollen nun die Abstände von A, B, C vom Koordinatenursprung O und die Lage von D berechnet werden. Da die Grafik auf der Briefmarke keinen Maßstab aufweist, kann eine Strecke beliebig vorgegeben werden; dies ist in der nachfolgenden Abbildung die Höhe (= 1) des Dreiecks ABC.

a berechnet man aus

    \[ a c = b, \quad c = \sigma a, \quad b^2=a^2+c^2, \quad a = \sqrt{2+\tau} \]

Mit a berechnet man b und c: c=\sqrt{2-\sigma} und b=\sqrt5 und somit OA = σ, OC = τ.

Das grün eingezeichnete Dreieck hat die gleichen Maße wie OAB, also hat D jeweils den Abstand 1 von den Achsen. Wir erhalten also für A, B, C, D die folgenden Abstände von O im Gegenuhrzeigersinn: σ, 1, τ auf den Achsen, √2 auf der Diagonalen.

Wird nun das Quadrat ADEF angesetzt, folgt aus der Lage von A und D, dass E auf der Koordinatenachse zwischen A und D liegt und dass gilt OE = τ², OF = 2 τ.

Das Rechteck BCEF genügt auch dem Goldenen Schnitt – es wiederholen sich alle Überlegungen zu ABCD, denn es liegen wieder drei Ecken auf den Achsen. Die Höhe des Dreiecks BCE ist die Goldene Zahl, also sind alle oben berechneten Längen damit zu multiplizieren.

Dieses Verfahren lässt sich iterieren. Ausgehend vom innersten Rechteck erhält man durch sukzessives Ansetzen von Quadraten weitere Rechtecke nach dem Goldenen Schnitt.
Es wurde gezeigt, dass dann jeweils drei Ecken auf den Achsen liegen, die vierte auf einer Diagonalen. Die Abstände dieser Ecken von O sind beim (n + 1)-ten Rechteck im Gegenuhrzeigersinn: σ τn, τn, τ τn, √2 τn.
Bei jedem Schritt wandert die Lage dieser Ecken um 90° im Gegenuhrzeigersinn weiter.

AnimationLogarithmische Spiralen haben die Parametergleichung r = d ep φ (d > 0, p > 0).
In der Grafik der Briefmarke erhält man alle Berührpunkte der Spirale mit den Rechtecken bzw. Quadraten, wenn man diejenigen Ecken der Rechtecke auswählt, die auf den Winkelhalbierenden liegen. Die Folge der zugehörigen Abstände von O ist √2, τ √2, τ² √2 … und die Berührpunkte wandern im Gegenuhrzeigersinn jeweils um 90°.

Sie liegen somit auf einer Logarithmischen Spirale, und wir können den Parameter p zu 2\ln{\frac{\tau}{\pi}} berechnen.
Setzt man für den Anfang der Spirale auf der Marke φ = -135°, so ergibt sich für d etwa 2.91.

Logarithmische Spirale 2Damit ist geklärt, wie der Goldene Schnitt mit einer Logarithmischen Spirale zusammenhängt und wie die Konstruktion auf der Briefmarke durchgeführt wurde.

Das hier beschriebene Verfahren können Sie im Teilprogramm Logarithmische Spirale nachvollziehen. An den Rollbalken stellen Sie die Anzahl der aufzusetzenden Quadrate und den Darstellungsmaßstab ein. Über die Markierungsfelder können Sie weitere Darstellungselemente zu- und abschalten.

Hinweis: Die Idee zu diesem Teilprogramm und der erläuternde Text stammen von Manfred Boergens („Mathematik auf Briefmarken # 5“).