Logistisches Wachstum

Logistisches WachstumLogistisches Wachstum und beschränktes Wachstum

Ein Wachstum heißt beschränkt mit einer Schranke S, wenn die Änderungsrate B(t + 1) – B(t) nicht konstant, sondern proportional zum Sättigungsmanko S-B(t) ist, d.h.

    \[ B(t+1)=B(t)+k(S-B(t)) \]

Ein Wachstum wird logistisch mit der Schranke S, die Kapazitätsgrenze, genannt, wenn die Änderungsrate B(t + 1) – B(t) ebenfalls nicht konstant, sondern proportional zum Produkt aus dem vorhandenen Bestand und dem Sättigungsmanko B(t) (S – B(t)) ist.

    \[ B(t+1)=B(t)+kB(t)(S-B(t)) \]

Sehr viele Wachstumsprozesse in der Natur sind logistisch.
Zum Beispiel kann ein Baum auf Grund der Gravitation nur eine maximale Höhe erreichen (Wasser- und Nährstofftransport) andererseits wächst er am Anfang nur sehr langsam, bei einer gewissen Größe deutlich schneller um nach einiger Zeit sich langsam seiner Maximalhöhe anzunähern.

Mathematisch gesehen, beschreibt die Differentialgleichung

    \[ B'(t)=kB(t)(S-B(t)) \]

das logistische Wachstum. Diese logistische Gleichung wurde 1837 von dem belgischen Mathematiker Pierre François Verhulst eingeführt. Für praktische Zwecke wird gern auf die oben genannte rekursive Form zurückgegriffen.

In diesem Teilprogramm wird ein logistisches Wachstum berechnet und die entsprechende Funktion gezeichnet. Dazu geben Sie die Anfangsgröße B(0), die Schranke S und einen Wert B(t) nach einer gewissen, verstrichenen Zeit t ein.

Das Programm ermittelt den Wachstumsfaktor k, berechnet einige Werte für veränderliche Zeiten t bis zum Erreichen von mindestens 99 % der Schranke und zeichnet die Wachstumsfunktion.
Diese Funktion hat eine S-Form und wird Sigmoide genannt.

Markieren Sie das Feld diskrete Werte wird k unter der Vorraussetzung eines spontanen Wachstums am Ende der Zeitperiode aus den ersten zwei B(0) und B(1) ermittelt und die weiteren Werte als farbige Punkte in das Koordinatensystem eingezeichnet.

Voreingestellt ist die Untersuchung des logistischen Wachstums. An den Auswahlfeldern können Sie auch auf rein beschränktes Wachstum umstellen. In diesem Fall wird die Schranke S fast immer später erreicht. Hier findet man am Anfang ein starkes, später ein schwaches Wachstum.