Mandelbrotmenge

MandelbrotmengeDer polnisch-französische Mathematiker Benoit Mandelbrot untersuchte die Funktion y = xz + 1 in der komplexen Zahlenebene, wobei jede komplexe Zahl als Paar zweier Koordinaten x und y in der Gaußschen Ebene benutzt wird.

Als Iterationsgleichung ergibt sich

    \[ z_n=z_{n-1}^2+c \]

Überträgt man dies in den komplexen Zahlenbereich, erhält man:

    \[ z = x + yi \quad und \quad c = c_{reell} + c_{imagin\"ar} \quad ,d.h. \]

    \[ f(z_n) = x_{n-1}^2 - y_{n-1}^2 + c_{reell} + i\cdot (2 x_{n-1}y_{n-1} + c_{imagin\"ar}) \]

Wird die Iteration mit den Startwerten x = y = 0 begonnen und die Iteration entweder nach einer gewissen Anzahl von Iterationen oder nach der Überschreitung eines Abbruchwertes durch den Betrag der komplexen Zahl abgebrochen, erhält man das berühmte Apfelmännchen (Mandelbrotmenge):

ApfelmännchenAbbildung: „Apfelmännchen“ für -0.8 < x < 1.8; -1 < y < 1; 100 Iterationen und Abbruchwert 4

Der Anfangswert z0 der Iteration wird aus der komplexen Zahl 0 + 0i gebildet. Für die Entscheidung, ob die Iteration bei gegebenem Wert c konvergiert oder divergiert, müsste der zugehörige Grenzwert gebildet werden. Da dies aber nicht möglich ist, behilft man sich, indem man eine obere Grenze und eine maximale Iterationszahl (Iterationen) festlegt.

Überschreitet die Iteration – genauer der Betrag der iterierten Größe z – auch nur einmal diese obere Grenze, geht man davon aus, dass eine Divergenz vorliegt. Wird im Laufe der maximalen Zahl von Iterationsschritten dieser Wert nicht überschritten, vermutet man eine Konvergenz. Für die voreingestellte obere Grenze = 2 ist nachgewiesen, dass tatsächlich bei einmaligem Überschreiten des Wertes eine Divergenz vorliegt.

Die eigentliche Mandelbrotmenge besteht aus dem schwarz gefärbten Innenbereich, für dessen Punkte die Iteration nicht divergiert.
Auch der Konvergenzbereich kann farbig dargestellt werden.
Markieren Sie das Feld Farbverlauf, zeichnet das Programm für die Mandelbrotmenge in Abhängigkeit von dem nach der Iteration erreichten Funktionswert farbige Punkte.

Markieren Sie das Feld Inversionskurve, so ermittelt das Programm die am Ursprungskreis mit dem Radius 1 invertierte Darstellung. Dabei entstehen teilweise sehr verblüffende Ergebnisse.

Zu jedem Punkt der Mandelbrotmengendarstellung existiert eine Juliamenge. Klicken Sie mit der Maus rechts auf die Mandelbrot-Menge, übernimmt das Programm die Punktkoordinaten, schaltet zur entsprechenden Julia-Menge um und stellt diese dar. Mit einem erneuten rechten Mausklick gelangen Sie zum Apfelmännchen zurück.

Farbpalette
Fraktale Darstellungen leben vor allem von ihrem Farbreichtum. Zur Gestaltung der Abbildungen können Sie vor dem Zeichnen des Fraktals an der aufklappbaren Liste Farbpaletten eine besondere Farbgestaltung auswählen. Voreingestellt ist die Palette defaultw, welche die Windows-Standardfarben benutzt.

Wählen Sie eine andere Farbpalette aus, z.B. Neon, Vertigo oder Argon, so können Sie faszinierende Darstellungen erhalten. An der aufklappbaren Liste der Farbpalettennamen können Sie einen Wert verändern. Mit diesem werden die einzelnen Farben der Palette untereinander verschoben, wodurch sich weitere Farbgestaltungsmöglichkeiten ergeben.

Mit dem Farbrotation-Schalter können Sie eine Besonderheit nutzen: eine Rotation der zum Zeichnen des Fraktals genutzten Farben. Klicken Sie auf diesen Schalter, werden die 256 verwendeten Farben in schneller Folge zyklisch vertauscht. Dadurch entstehen sehr interessante Animationen, die den Eindruck der Fraktale vertiefen – es scheint, als ob die Farben „nach außen oder innen laufen“ würden.

In dem Eingabebereich links neben dem Schalter können Sie die Geschwindigkeit des Farbtauschens regulieren. Erhöhen Sie den Wert, so werden die Farben mit einer Zeitverzögerung vertauscht, nutzen Sie einen kleinen Wert, so erfolgt der Tausch sehr schnell. Stellen Sie einen negativen Wert ein, so laufen die Farben nicht mehr nach außen, sondern nach innen.

Während diese Farbrotation bei einer Windows-Farbtiefe von 256 Farben eine einfach zu nutzende Eigenschaft von Windows ist, ist sie bei modernen True-Color-Auflösungen sehr anspruchsvoll. Dieses Programm gehört zu den wenigen Softwarelösungen, die diese Animation der Farben auch auf modernen Computern realisieren.