Mathematische Kurven

Mathematische KurvenNeben Funktionen, die eindeutige Abbildungen aus einer Menge A (Argumente) in eine Menge B (Funktionswerte) sind, interessieren in der Mathematik auch allgemeine und technische Kurven, welche im Allgemeinen keine eindeutigen Abbildungen reeller Zahlen sein müssen, d.h., einem Argument können durchaus mehrere Werte zugeordnet sein.

Mathematische Kurven in Parameterform bzw. Polarkoordinatenform können Sie in diesem Unterprogramm definieren und untersuchen.

Parameterform
Dabei werden die Definitionsgleichungen für die x- und y-Darstellung in Abhängigkeit von einem reellen Parameter k: x = a(k) und y = b(k) festgelegt. Zur Konstruktion der Kurve durchläuft der Parameter k einen vorgegebenen Definitionsbereich (Voreinstellung [-π;π]), wobei die Koordinaten der zugehörigen Punkte über die zwei Definitionsgleichungen ermittelt werden.

Beispiel: Gleichung der Astroide X = a(K) = 3*COS(K)+COS(3*K) und Y = b(K) = 3*SIN(K)-SIN(3*K)

Beachten Sie bitte: Der die Kurve beschreibende Parameter muss auf jeden Fall die Bezeichnung K erhalten. Darüber hinaus können Sie aber auch wieder einen weiteren Parameter, und zwar P, nutzen. Dessen Wert ist auf 1 voreingestellt und kann in der Eingabezeile Kurvenschar von P = geändert werden. Innerhalb der grafischen Darstellung wird der Wert von P erneut für eine Animation der Kurve herangezogen.

Möchten Sie sowohl die Originalkurve als auch die an der y-Achse gespiegelte Kurve darstellen, so markieren Sie das Feld ±Kurve. Soll die Ausgangskurve an der Abszissenachse gespiegelt werden, so markieren Sie das Feld x = ±f(k) darstellen.

Polarkoordinaten
Soll die Kurve in Polarkoordinaten definiert werden, müssen Sie den Ortsvektor r in Abhängigkeit von einem Parameter P und einem Winkel W festlegen: r = f(p,w).
Kurven 1Dabei wird die Lage eines Punktes P durch seinen Abstand r zum Pol (Koordinatenursprung) und durch einen Winkel w bezüglich der Achse des Polarkoordinatensystems beschrieben. Der Winkel w wird mathematisch positiv, also entgegengesetzt zum Uhrzeigersinn, gezählt.

Zusätzlich muss das Markierungsfeld Polarkoordinaten gewählt werden, andernfalls wird die Gleichung nicht ausgewertet.

Möchten Sie sowohl die Kurve in Polarkoordinaten ρ(w) als auch die Kurve -ρ(w) darstellen, so markieren Sie das Feld ±Kurve. Dies ist zum Beispiel wichtig, wenn Sie Kurven der Form ρ² = f(w) zeichnen möchten. In diesem Fall tragen Sie SQRT(ρ(w)) ein und markieren das genannte Feld.
Beachten Sie bitte: Der Winkel w wird im Bogenmaß, nicht im Gradmaß, verarbeitet.

Beispiele: Archimedische Spirale R=W ; Hyperbolische Spirale R=2/W ; Cassini-Kurve R = SQRT(COS(2*W)+SQRT(COS(2*W)^2+15))

Für den Parameter K bzw. den Winkel W ist es möglich, in den Eingabefeldern von … bis Anfangs- und Endwert sowie unter Schrittweite die Schrittweite für die grafische Darstellung zu wählen. Während die Schrittweite eine positive reelle Zahl sein muss, können Sie für den Anfangs- bzw. Endwert auch mathematische Ausdrücke der Form PI, 2 * PI, SIN(2) usw. nutzen. Die Verwendung des Ausdrucks PI ist dem Wert 3.14 vorzuziehen, da die Kreiszahl π intern mit acht Dezimalstellen Genauigkeit benutzt wird. Geben Sie eine Schrittweite kleiner oder gleich Null ein, verwendet das Programm automatisch den Wert 0.01.

Im rechten Fensterteil erhalten Sie eine Vorschaugrafik der Kurve.
Enthält eine der Definitionsgleichungen den Parameter P, können Sie auch diese Kurve für einen sich verändernden Parameter P untersuchen und animieren.
Das vordefinierte Intervall von -PI bis PI ist für die Mehrzahl der in der höheren Mathematik behandelten Kurven ausreichend. Besitzt eine Kurve jedoch gerade für sehr kleine bzw. große Parameter k oder Winkel w interessante Eigenschaften, wie z.B. das Kartesische Blatt, sollten Sie mit der Eingabe des Parameterintervalls etwas experimentieren.

Ableitung
Auch mathematische Kurven können an verschiedenen Stellen oder über ein Intervall differenzierbar sein. Der Verlauf der 1. Ableitung einer Kurve ist dabei mitunter sehr aussagekräftig. Bei Auswahl des Eintrags Ableitung zeichnen bestimmt das Programm die Differenzialquotienten und stellt diese zusätzlich dar.

Kurvenschar
Möchten Sie Ihre ausgewählte Kurve für mehrere Werte des Parameters P zeichnen, so wählen Sie den Punkt Kurvenschar in der Optionsliste und tragen Sie die entsprechenden Start- und Endwerte sowie die Schrittweite in die Eingabezeilen von P =, bis und in Schritten von ein.

Spezielle Beschriftung von Kurvenpunkten / Markierung von Punkten
Unter Umständen ist es von Interesse, welcher Parameter K bzw. Winkel W gewisse Kurvenpunkte bestimmt. Dafür sind zwei Markierungsfelder in diesem Teilprogramm vorgesehen.
Markieren Sie den Punkt spezielle Punktbeschriftung, trägt das Programm in der grafischen Darstellung die Punkte der Kurve ein, welche durch den Parameter K bzw. den Winkel W bestimmt werden, für die K bzw. W = 0, π/6; π/4; π/3; π/2; 2π/3; 5π/6; π; 3π/2 betragen. Voraussetzung ist, dass der Definitionsbereich der Kurve die angegebenen Werte auch enthält.

Kurven 2Beispiel: Parameterhaltige Astroide (P=1) mit spezieller Punktbeschriftung

Außerdem können Sie durch Markierung des Feldes Punkte… und Eingabe einer Punktzahl (Voreinstellung 10) verschiedene Punkte der Kurve hervorheben. Das Programm teilt dazu den Definitionsbereich durch die Punktzahl und markiert mit dieser Schrittweite, beginnend an der unteren Intervallgrenze des Definitionsbereichs, einzelne Stellen des Graphen der mathematischen Kurve.

Zum Beispiel werden bei einer Punktzahl gleich 10 und einem Definitionsbereich [-π;π] alle Stellen mit einem Parameter K oder Winkel W von iπ / 10; i = 0, 1, 2, …, 10 durch einen kleinen Kreis gekennzeichnet, d.h., es wird stets ein Punkt mehr markiert als angegeben (untere Intervallgrenze!).

Enthält Ihre mathematische Kurve einen Parameter P, so können Sie, wie oben erwähnt, den Einfluss eines veränderlichen Wertes von P durch eine Animation veranschaulichen. Dabei werden die markierten Punkte ebenfalls gezeichnet. Eine weiterführende Beschreibung dieser Darstellungsmöglichkeit finden Sie im Abschnitt Grafische Darstellung.

Kurven 3Beispiel: Darstellung der vordefinierten, parameterhaltigen Lissajouschen Kurve im Intervall [0;π]. Darüber hinaus wurden vier zusätzliche Punkte für k = 0; π/3; 2π/3; π eingezeichnet. Sehr interessant ist auch die Änderung des Parameters durch einfaches Bewegen der Maus.

Kurvenbibliothek
Erneut besteht die Möglichkeit, interessante Definitionsgleichungen dauerhaft zu speichern und gegebenenfalls schnell zu laden. Zu den mitgelieferten über 100 Kurven gehören z.B.:

  • Zykloiden, Hyperzykloiden, Epizykloiden
  • Strophoide, Zissoide, Kardioide, Astroide
  • Cassini-Kurven
  • verschiedene Lissajousche Figuren
  • andere merkwürdige Gebilde …

Wählen Sie in der Liste einen Eintrag mit der Maus aus, so erhalten Sie sofort ein Vorschaubild des Kurvenverlaufs. Die grafische Darstellung mittels des Schalters Darstellung bietet Ihnen weitere umfangreiche Möglichkeiten.

Wertetabelle einer Kurve

Wünschen Sie eine Wertetabelle der untersuchten Kurve, wählen Sie den entsprechenden Markierungspunkt Wertetabelle. Je nach Art der Definition der Kurve erhalten Sie in Abhängigkeit von Anfangs- und Endwert sowie der Schrittweite folgende Werte angezeigt:

  • Kurve in Parameterdarstellung: Parameter K … Koordinaten X und Y, Länge des Ortsvektors R und Richtungswinkel
  • Räumliche Kurve: Parameter K … Koordinaten X, Y und Z, Länge des Ortsvektors R
  • Kurve in Polardefinition: Winkel W in Bogen- und Gradmaß … Länge R

Startwert und Endwert der Tabelle (der Parameter K oder der Winkel W) tragen Sie in die entsprechenden Zeilen ein. Wichtig ist die Schrittweite, die den Abstand der Tabelleneinträge festlegt.
In der Liste finden Sie alle in der Bibliothek enthaltenen Kurven. Wählen Sie eine aus, werden deren Gleichungen eingetragen.