Matrizen und Determinanten

Matrizen und DeterminantenDieses Unterprogramm ermöglicht Berechnungen mit maximal 11-reihigen quadratischen Matrizen.

Den Grad der Matrix legen Sie an den Pfeilschaltern fest.
Mithilfe der in der nachfolgenden Tabelle enthaltenen Schalter wählen Sie die jeweils anzuzeigende Matrix bzw. Operation aus.

Die entsprechende Operation starten Sie jeweils durch Betätigung eines dieser Schalter. Insbesondere die beiden letzten Schalter ermöglichen es, längere Berechnungen mit Matrizen durchzuführen.

Schalter Wirkung
Matrix A anzeigen Anzeige und Eingabe der Koeffizienten der Matrix A
Matrix B anzeigen Anzeige und Eingabe der Koeffizienten der Matrix B
A + B Anzeige der Summe beider Matrizen
-A Anzeige der mit dem Skalar -1 multiplizierten Matrix A
A * B Anzeige der Produktes A*B beider Matrizen
B * A Anzeige der Produktes B*A beider Matrizen
Inverse Matrix zu A Anzeige der zu A inversen Matrix A-1
Transponierte Matrix zu A Anzeige der transponierten Matrix AT zur Matrix A
Anzeige in A kopieren Die in diesem Moment angezeigten Koeffizienten werden in die Matrix A eingetragen
Anzeige in B kopieren Die in diesem Moment angezeigten Koeffizienten werden in die Matrix B eingetragen
Cholesky-Faktor von A Berechnung der unteren Dreiecksmatrix L der Zerlegung A = LLT
Matrizen löschen Koeffizienten beider Matrizen werden auf 0 gesetzt

Zusätzlich erhalten Sie die Koeffizientendeterminanten der Matrizen A und B angezeigt. Die inverse Matrix A-1 existiert nur, wenn die Determinante von A verschieden 0 ist. Andernfalls erhalten Sie die Fehlermeldung: Keine eindeutige Lösung.

QR-Zerlegung von A
Über diesen Schalter wird die Matrix A in ein Produkt QR einer orthogonalen Matrix Q und einer geeigneten Dreiecksmatrix R zerlegt. Das Ergebnis Q wird nach A kopiert, die Matrix R nach B. Beachten Sie, dass diese Zerlegung nur möglich ist, wenn die Spalten der Matrix A linear unabhängig sind.

Determinanten
Determinanten finden in vielen Bereichen der Mathematik Anwendung – nicht nur bei der Lösung von Gleichungssystemen. Neben reellen Koeffizienten können auch komplexe Zahlen für die Berechnung herangezogen werden.

In diesem Unterprogramm können Sie bis zu 11-reihige Determinanten mit reellen, aber auch komplexen Koeffizienten berechnen. Dabei werden die Determinanten als Koeffizienten von Matrizen A und B eingegeben.

Wählen Sie zuerst die Ordnung, den Rang der Determinante, über den Rollbalken aus. Reelle und imaginäre Anteile werden getrennt in den beiden Matrizen A und B eingegeben. Die anzuzeigende und damit editierbare Seite wählen Sie mittels der Schalter Matrix A anzeigen und Matrix B anzeigen. Nach Quittierung der Eingabe durch Betätigung eines der Schalter wird der Wert der Determinante von Matrix A und von Matrix B ausgewiesen. Als Besonderheit interpretiert das Programm beide Matrizen als Eingabefelder einer Determinante A + B * i, d.h., die Koeffizienten von B werden als imaginäre Anteile ausgewertet. Der Wert dieser Determinante | A + B * i | wird ebenfalls berechnet.

Enthält Matrix B nur Koeffizienten 0, sprich die imaginären Anteile von A + B * i sind 0, ermittelt das Programm selbstverständlich den Wert der nunmehr reellwertigen Determinante.

Eigenwerte und Eigenvektoren
Innerhalb des Teilprogramms Matrizenrechnung können Sie zusätzlich für eine Matrix die Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen lassen.
Dabei werden für eine symmetrische Matrix alle Eigenwerte und -vektoren ermittelt, für eine unsymmetrische Matrix der Haupteigenwert mit dem ihm zugeordneten Vektor.
Eigenwerte und -vektoren können für eine Nullmatrix nicht berechnet werden.

Matrizenmultiplikation
Matrizen können auch multipliziert werden, wenn sie nicht gleiche Spalten- bzw. Zeilenzahl aufweisen, also nicht quadratisch sind.
Nutzen Sie dazu das Teilprogramm Matrizenmultiplikation.