Methode der kleinsten Quadrate

Methode der kleinsten QuadrateDie Methode der kleinsten Quadrate oder der kleinsten Fehlerquadrate ist das mathematische Standardverfahren zur Ausgleichungsrechnung.

Es ist eine Menge aus Datenpunkten gegeben, die physikalische Messwerte, wirtschaftliche Größen usw. repräsentieren kann. In diese Punktwolke soll eine möglichst genau passende parameterabhängige Modellkurve gelegt werden. Dazu bestimmt man die Parameter dieser Kurve numerisch, indem die Summe der quadratischen Abweichungen der Kurve von den beobachteten Punkten minimiert wird.

In der Stochastik wird die Methode der kleinsten Quadrate meistens als Schätzmethode in der Regressionsanalyse benutzt. In der mathematischen Statistik nennt man das Verfahren auch Kleinste-Quadrate-Schätzung, während in der Physik die Bezeichnung Fitting verwendet wird.

Am Neujahrstag 1801 entdeckte der italienische Astronom Giuseppe Piazzi den Asteroiden Ceres. 40 Tage lang konnte er die Bahn verfolgen, dann verschwand Ceres hinter der Sonne. Im Laufe des Jahres versuchten viele Wissenschaftler die Bahn zu schätzen. Die meisten Rechnungen waren unbrauchbar – als einzige war diejenige des 24-jährigen Carl Friedrich Gauß genau genug. Gauß erlangte dadurch Weltruhm.

Sein Verfahren, die Methode der kleinsten Quadrate, publizierte er erst 1809 im zweiten Band seines himmelsmechanischen Werkes „Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium“.
Unabhängig davon entwickelte der Franzose Adrien-Marie Legendre 1806 dieselbe Methode.

1829 konnte Gauß eine Begründung liefern, wieso sein Verfahren im Vergleich zu den anderen so erfolgreich war: Die Methode der kleinsten Quadrate ist in einer breiten Hinsicht optimal. Die genaue Aussage ist als der Satz von Gauß-Markow bekannt.

In diesem Teilprogramm können Sie das Gaußsche Verfahren testen.
Tragen Sie dazu in die Wertepaartabelle x- und y-Werte ein oder laden Sie diese von der Festplatte.
Vor der Berechnung wählen Sie, welche Zielfunktion gesucht ist. Vorgesehen sind hier ganzrationale Funktionen von 2. bis 6. Grades.

Sobald Sie auf den Schalter Auswertung klicken, berechnet das Programm das Polynom und die Summe der Fehlerquadrate. Die Wertepaare und die Funktion werden in der grafischen Darstellung gezeigt.

Unterhalb des Schalters finden Sie in einer Tabelle die Parameter ai des Polynoms und deren Varianz s².
Markieren Sie eines der Auswahlfelder Streuung, zeichnet das Programm außer dem besten Polynom auch die Polynome, bei denen das gewählte ai durch ai + Standardabweichung und ai – Standardabweichung ersetzt wird.