Nichtlineares Gleichungssystem

Nichtlineares GleichungssystemDie Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems ist im allgemeinen Fall nur noch iterativ möglich. Nach Festlegung eines Startvektors ermittelt das Teilprogramm mit maximal 50 Iterationsschritten eine günstige Näherungslösung des Systems.
Die Forderungen an das Näherungsverfahren schnelle Konvergenz, bei möglichst wenigen Startvektoren Divergenz statt Konvergenz, mit wenig Startvektoren möglichst alle Lösungen ermitteln und relativ einfache Berechenbarkeit erfüllen sogenannte Quasi-Newton-Verfahren. Im Programm wurde das Broyden-Verfahren umgesetzt.

Geben Sie dazu maximal vier Gleichungen in die Zeilen ein. Beachten Sie bitte, dass die allgemein geltenden Regeln für implementierte Funktionen zu berücksichtigen sind. Als Variablen können Sie ausschließlich X, Y, U und V nutzen.

Nach Betätigung des Schalters Berechnung werden programmintern 10 verschiedene Startvektoren gebildet und für diese die Iteration durchgeführt. Wird ein Lösungstupel gefunden, dessen Norm vom vorhergehenden nur um 0.0001 abweicht, zeigt das Programm die Werte und die Norm an.
Wird keine Erfüllung des Systems gefunden, erhalten Sie eine entsprechende Meldung. Der unter Norm genannte Wert charakterisiert die Güte der gefundenen Lösung: Je kleiner die Norm ist, desto genauer ist die gefundene Lösung.

Die Suche nach Lösungen kann auch auf schnellen Computern einige Zeit dauern. Der Vorgang lässt sich jederzeit durch Betätigung des Schalters Stopp oder der ESC-Taste abbrechen.

Beachten Sie bitte: Nicht in jedem Fall ist gesichert, dass das Programm alle bzw. überhaupt eine Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems findet.

Beispiel: Das Beispiel (1.Schalter B klicken) enthält das nichtlineare Gleichungssystem:

  • 0 = X + Y + U + V -3
  • 0 = X2 + Y2 + U – 2*V – 9
  • 0 = X + Y*U + V – 1
  • 0 = X – V +8

Das Programm ermittelt iterativ vier Lösungen:

X Y U V Norm
-0.7572 -4.6621 1.1766 7.2428 0
7.827 1.0441 -21.6981 15.827 0
-3.6212 2.1285 0.1139 4.3788 0.000002
-3.8486 0.2896 2.4076 4.1514 0

Ändern Sie die vierte Gleichung auf 0 = X-V-3 findet das Programm nur zwei Lösungen (eine der Lösungen doppelt):

X Y U V Norm
0.888 0.6165 3.6074 -2.112 0
2.4374 -0.5289 1.6541 -0.5626 0.000007

Grafische Darstellung
Haben Sie genau zwei nichtlineare Gleichungen mit den Variablen X und Y als Gleichungssystem eingegeben, so können Sie die Lösungsmenge auch grafisch veranschaulichen. Wählen Sie dazu den in diesem Fall verfügbaren Schalter Darstellung.

Beispiel: Für das Gleichungssystem 0 = X / SQRT(Y) + Y / SQRT(X) – X*Y und 0 = X^5 + Y^5 – 8*X*Y findet das Programm keine Lösung, obwohl diese existiert.
Die Ursache liegt in den Unstetigkeiten der ersten Gleichung begründet, die das Näherungsverfahren leider noch nicht verarbeiten kann. Dennoch können Sie das Gleichungssystem untersuchen. Entweder ändern Sie es auf

  • 0 = X * SQRT(X) + Y * SQRT(Y) – X*Y*SQRT(X)*SQRT(Y)
  • 0 = X^5 + Y^5 – 8*X*Y

wobei Sie aber beachten müssen, dass die eine ermittelte Lösung (0;0) keine tatsächliche Lösung des Ausgangssystems ist. Nun findet das Programm aber auch die korrekte Lösung (1.5874;1.5874). Zum anderen können Sie das System auch näherungsweise grafisch lösen. Rufen Sie dazu die grafische Darstellung auf.

Nlinear1Das Programm analysiert für jeden zweiten Punkt der Darstellungsebene beide Gleichungen. Die Punktkoordinaten werden dazu in die Gleichungen eingesetzt und die rechten Seiten der Gleichungen berechnet (E1 sei das Ergebnis der ersten Gleichung; E2 das der zweiten). Für jede der nachfolgenden Möglichkeiten wird der Punkt wie folgt eingefärbt

  • E≥ 0 und E2 ≥ 0 … Punkt wird grün (nur wenn Markierungsfeld Kurve zeichnen nicht ausgewählt wurde)
  • E1 ≥ 0 und E2 ≤ 0 … Punkt wird blau
  • E1 ≤ 0 und E2 ≤ 0 … Punkt bleibt weiß
  • E1 ≤ 0 und E2 ≥ 0 … Punkt wird rot

Vergegenwärtigt man sich, dass für alle Lösungen des Systems sowohl E1 = 0 als auch E2 = 0 gelten muss, finden Sie nun Lösungen, indem Sie genau die Punkte des Koordinatensystems auswählen, wo ein blauer Bereich einen roten berührt! Die Koordinaten dieses Punktes bilden dann das Lösungspaar.

Im Beispiel finden Sie zwei solche Punkte: Der Punkt (1,59;1,59) ist Näherungslösung des Gleichungssystems, während (0;0) als Lösung entfällt, da in diesem Fall die erste Gleichung keinen definierten Wert ergibt.

Genügt Ihnen die Genauigkeit nicht, können Sie natürlich auch hier bestimmte Bereiche des Darstellungsintervalls vergrößern und so die Lokalisierung der Lösung verbessern. Da die Darstellung eine gewisse Zeit benötigt, können Sie diese mit dem Stopp-Schalter abbrechen.

Markieren Sie vor der Darstellung das Feld Kurve zeichnen, setzt das Programm nur die Berandungspunkte der oben angezeigten Flächen. An der Stelle, wo sich die rote und blaue Kurve berühren, finden Sie die gesuchten Lösungen.