Phasenplot und Niveauflächen komplexer Funktionen

„Bilder können nichts beweisen. Aber sie lassen Wissenschaftler die Funktion besser verstehen und vermitteln ihnen Ideen, wo sie mit neuen Überlegungen ansetzen können.“
Elias Wegert

PhasenplotIn der Mathematik versteht man unter der Niveaumenge die Menge aller Punkte eines Skalarfeldes, denen der gleiche Wert zugeordnet ist. Für zweidimensionale Skalarfelder ist diese Menge zumeist eine Linie und man spricht von einer Niveaulinie. Bei dreidimensionalen Skalarfeldern stellt diese Menge zumeist eine Fläche dar, die Niveaufläche genannt wird. Ein Beispiel für Niveauflächen sind die Äquipotentialflächen eines elektrischen Feldes.

Niveauflächen können auch zur Veranschaulichung von Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher bzw. komplexer Veränderlicher genutzt werden.

Phasenplot 2Bei komplexwertigen Funktionen wird die Gaußsche Ebene zur Darstellung des Funktionsarguments genutzt und jeder Punkt durch eine Farbe gekennzeichnet, die entweder den Realwert, den Imaginärwert, den Betrag des Funktionswertes oder das Argument des Funktionswertes (Phasenplot) darstellt.
Aus den entstehenden Darstellungen kann der Verlauf der Funktion (Täler, Berge, Unstetigkeitsstellen …) ermittelt werden.
Abbildung rechts: Phasenplot f(z) = SIN(1/z5)+z

In diesem Teilprogramm können Sie diese Niveauflächen für komplexe Funktionen zeichnen.
Für die Funktionsgleichungen verwenden sie das Argument Z und folgende Funktionen und Operanden:

  • Standardfunktionen SQRT, SIN, COS, TAN, COT, SEC, CSC, SINH, COSH, TANH, COTH, EXP, LN
  • Spezielle Funktionen GAMMA und die Besselschen Funktionen BI0, BJ0
  • Riemannsche Zetafunktion RIEMANN (Näherung bis … + 1/48z)
  • die Jacobischen elliptischen Funktion DN, SN, CN
  • Exponentialintegral EI
  • die Funktionen TRE(Z) und TIM(Z) für den Real- bzw. Imaginärteil des komplexen Arguments z
  • Operanden +, -, *, / und die Potenzbildung ^
  • Konstanten I, PI

Für die Zeichnung können Sie die Darstellungsintervalle sowohl in Abszissenrichtung (x-Achse) als auch in Ordinatenrichtung (y-Achse) eingeben.
Voreingestellt ist die Verwendung der im linken Fensterteil dargestellten Farben eines Regenbogens. Alternativ können Sie Farben verwenden, die im Maxwellschen Farbkreis auftreten.

Zeta-FunktionBeispiel: Interessante Darstellungen eines Phasenplots (Abbildung) bzw. einer Niveaufläche von Real- oder Imaginärteil erhalten Sie bei der Wahl von Zeta-Funktion.

Beachten Sie bitte, dass die aufwendige Berechnung und Darstellung auch auf schnellen Computern einige Zeit benötigt.

Complex Beauties

Die Idee zu diesem Teilprogramm stammt von den faszinierenden Mathematik-Kalendern „Complex Beauties“ von Prof. Elias Wegert der TU Bergakademie Freiberg.

Complex BeautiesSeit dem Jahr 2011 veröffentlichen Prof. Elias Wegert (Preisträger der XV.Internationalen Mathematikolympiade 1973 in Moskau) und Dr. Gunter Semmler vom Institut für Angewandte Analysis einen faszinierenden Mathematik-Kalender.

Diese Kalender zeigen Visualisierungen komplexer Funktionen mit Hilfe sogenannter Phasenplots, d.h. „Komplexe Schönheiten“ (Complex Beauties).
Zu jedem Kalenderblatt gibt es gut geschriebene Erläuterungen der zu betrachtenden Bilder. Die Schönheit dieser mathematischen Darstellungen sollte man genießen. Eine Einführung in das Thema ist auf der Rückseite des Deckblattes enthalten.

Internetseite zum Kalender 2017
Älter Kalender gibt kostenlos es als PDF-Download: Kalender 2011Kalender 2012Kalender 2013Kalender 2014Kalender 2015, Kalender 2016

Download

Dieser Programmteil kann hier als Einzelprogramm heruntergeladen werden, entweder in Deutsch oder Englisch.

Phasenplot einer Funktion
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Phase plot of a complexe function
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Der Delphi-Quelltext des deutschen Einzelprogramms kann unter Quelltexte bzw. hier direkt geladen werden.

Quelltext zum Phasenplot einer Funktion