Polynome

Nach dem Gaußschen Hauptsatz für ganzrationale Gleichungen bzw. Funktionen reeller Zahlen lässt sich jedes Polynom der Form

    \[ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 \]

Polynomesofern es eine reelle Lösung x0 besitzt (Nullstelle der Funktion), durch Abspalten des Binoms (x – x0) auf ein Polynom n-1-ten Grad reduzieren. Die dazu notwendige Polynomdivision kann man auf die Division beliebiger Polynome erweitern.

In diesem Unterprogramm geben Sie zwei ganzrationale Terme A(x) und B(x) maximal 8. Grades ein.

Beachten Sie bitte, dass ausschließlich mit ganzen Zahlen als Koeffizienten gerechnet wird.

Nach Betätigung des Schalters Berechnung ermittelt das Programm die Summe beider Polynome, deren Produkt sowie die Quotienten \frac{A(x)}{B(x)} und \frac{B(x)}{A(x)}. Für die Division erhalten Sie das abspaltbare ganzrationale Polynom sowie das verbleibende Restpolynom der Division.

Darüber hinaus berechnet das Programm auch den größten gemeinsamen Teiler (ggT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) beider Polynome. Beachten Sie bitte, dass bei großen Koeffizienten oder hohen Polynomgraden nicht immer ein ggT ≠ 1 gefunden wird, da während der Rechnung sehr große Zwischenergebnisse entstehen können.
Zusätzlich berechnet das Programm eine Darstellung der Form

    \[ aA(x) = bB(x)+C(x) \text{ bzw. } aB(x)=bA(x)+C(x) \]

Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten können mitunter in Linearfaktoren der Form ax + b, quadratische Faktoren ax² + bx + c sowie kubische Terme ax³ + bx² + cx + d zerlegt werden.
Eine derartige Faktorisierung eines Polynoms wird hier sowohl für A(x) als auch B(x) durchgeführt, wobei zu beachten ist, dass auch hier für große Koeffizienten oder Polynome höheren Grades die Ermittlung der Faktoren nicht immer sicher ist.

Beispiel: Für die Ausgangspolynome A(x) = 4x3-5x2+2x und B(x) = -16x5+4x4+26x3+33x2+22x+8 ergibt sich

  • Summe: -16x5+4x4+30x³+38x²+24x+8
  • Produkt: -64x8-64x7+92x6+270x5+305x4+208x³+84x²+16x
  • Quotient A/B: 0
  • Quotient B/A: -4x²+6x+1
  • Restpolynom: 16x²+20x+8
  • ggT: -4x²-5x-2
  • kgV: 16x6-4x5-26x4-33x³-22x²-8x
  • Faktordarstellung: 1 A(x) = 0 B(x) + 4x³+5x²+2x ; 64 B(x) = (-256x²+384x +64) A(x) + 1024x²+1280x+512
  • Faktorisierung: A(x) = x(4x²+5x+2) ; B(x) = (4x²+5x+2)(-4x³+6x²+x+4)

Klicken Sie auf den Schalter B, so bestimmt das Programm zufällig zwei Polynome A(x) und B(x) mit einem von 1 verschiedenen ggT und trägt deren Koeffizienten ein.

Jedes der Polynome – Ausgangs- und Ergebnispolynome – Summe, Produkt, Quotient und ggT-Funktion kann grafisch als Funktion interpretiert und dargestellt werden. Markieren Sie dazu die Einträge in der Liste Darstellung. Betätigen Sie den Schalter Darstellung, zeichnet das Programm die gewählten Funktionen.

Außerdem zeigt Ihnen das Programm bei jeder Änderung eine erste Vorschaugrafik, an der Sie das spätere Ergebnis ablesen können. Für eine exakte grafische Darstellung mit allen Zusatzmöglichkeiten (u.a. Speichern, Drucken, nimation …) klicken Sie auf den Schalter Darstellung.