Primzahlachter

Ein Primzahlvierling ist ein Quadrupel von 4 unmittelbar aufeinanderfolgenden Primzahlen, d.h. mit dem Abstand 2, 4 und 2 zueinander.
Zwei Primzahlvierlinge p, p+2, p+6, p+8 und q, q+2, q+6, a+8 können den minimalen Abstand q-p von 30 besitzen.

Damit besteht ein Primzahlachter aus 8 Primzahlen der Form p, p+2, p+6, p+8, p+30, p+32, p+36 und p+38. Zwischen den zwei Primzahlen p+8 und p+30 können weitere Primzahlen auftreten, was aber für den Achter unerheblich ist.

Die ersten Achter sind zu finden ab
p = 1006301, 2594951, 3919211, 9600551, 10531061, 108816311, 131445701, 152370731, 157131641, 179028761, 211950251, 255352211, 267587861, 557458631, 685124351, 724491371, 821357651, 871411361, 1030262081, …

Für steigende Stellenzahl nimmt die Wahrscheinlichkeit für derartige Achter schnell ab.

Die nachfolgende Tabelle enthält die erste Primzahl eines kleinsten Primzahlachters der n-stelligen natürlichen Zahlen. In der Liste wird der jeweils kleinste Summand a angegeben, so dass die 8 Zahlen (n = Stellenzahl)

    \[ 10^{n-1}+a, 10^{n-1}+a+2, 10^{n-1}+a+6, 10^{n-1}+a+8, \]

    \[ 10^{n-1}+a+30, 10^{n-1}+a+32, 10^{n-1}+a+36, 10^{n-1}+a+38 \]

einen Primzahlachter bilden. Für die Stellenzahl bis 20 findet man:

Stellen Summand a Stellen Summand a
7 6301 8 531061
9 8816311 10 30262081
11 50723041 12 826471951
13 378004831 14 1691386381
15 264099031 16 9896602831
17 8469843751 18 13287072901
19 50095721341 20 22171879141

In der nachfolgenden Liste werden die jeweils kleinsten Summand a ab einer Stellenzahl n = 21 angegeben:

n-stellige Primzahlachter

Die Primzahlachter ab n = 32 wurden von Norman Luhn ermittelt. Ebenso gelang ihm die Ermittlung des kleinsten 100stelligen Primzahlachters:

    \[ 10^{99} + 5294137569927811 +d\text{ , d = }0,2,6,8,30,32,36,38 \]

Beachten Sie bitte:
Unter einem Primzahlachtling (siehe auch https://oeis.org/A065706) wird in der Fachliteratur ein 8-Tupel von Primzahlen der Form
p + 0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26
p + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26
p + 0, 6, 8, 14, 18, 20, 24, 26
diskutiert. Die kleinsten p derartiger Achtlinge sind:

11, 17, 1277, 88793, 113147, 284723, 855713, 1146773, 2580647, 6560993, 15760091, 20737877, 25658441, 58208387, 69156533, 73373537, 74266253, 76170527, 93625991, 100658627, 134764997, 137943347, 165531257, 171958667 …

Andererseits betrachtet man auch Konstruktionen der Form: Primzahl-Zwilling + Primzahl-Vierling + Primzahl-Zwilling. Man findet die beiden benachbarten Zwillinge eines Vierlings symmetrisch angeordnet mit den Mittenabständen plus 15 bzw. minus 15.
Erste Vierlings-Mittenzahlen sind 663585, 10187925, 11495595, 18873525, 93956115, 180929715 …