Primzahlen

PrimzahlenDieses Teilprogramm ermöglicht die Berechnung von Primzahlen, Primzahlzwillingen und -vierlingen, Doppel-Primzahlzwilligen, umkehrbaren und guten Primzahlen und Sophie-Germain-Primzahlen sowie die Zerlegung von Primzahlen der Form 4N+1.

Auf der rechten Fensterseite ist ein Berechnungsintervall einzugeben. Nach Betätigung des Schalters Berechnung werden die gesuchten Zahlen ermittelt und in die Tabelle eingetragen.
Erfordert die Berechnung zu viel Zeit, können Sie diese jederzeit mit der ESC-Taste oder dem Schalter Abbruch unterbrechen.

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau 2 Teiler besitzt, d.h., diese Zahl p ist nur durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar. Per Definition ist die 1 keine Primzahl. Die einzige gerade Primzahl ist 2.
Schon Euklid von Alexandria (um 365-300 v.u.Z.) bewies, dass unendlich viele Primzahlen existieren müssen. Im Buch VII der „Elemente“ begründet Euklid auch die Bezeichnung πρωτoς αριθμoς (Lateinisch: numerus primus; Deutsch: erste Zahl), indem er alle anderen Zahlen als aus primen Zahlen, den ersten grundlegenden Zahlen, zusammengesetzt erklärt.

Neben zahlentheoretischen Untersuchungen erhalten diese Zahlen immer stärkere Bedeutung, weil mithilfe besonders großer Primzahlen schwer zu entschlüsselnde Codierungen aufgebaut werden können. Ein Code basierend auf zwei etwa 60-70-stelligen Primzahlen gilt heute als praktisch sicher. Die Besonderheit und der von diesen Zahlen ausgehende Reiz besteht in der Tatsache, dass selbst für Laien interessante Untersuchungen möglich sind. Insbesondere die ungleichmäßige Verteilung gibt ständig Rätsel auf.

Primzahlzwilling

In der Liste werden ausschließlich Primzahlzwillinge angezeigt. Unter einem Primzahlzwilling versteht man zwei benachbarte Primzahlen, deren Differenz gleich 2 ist. Das kleinste Paar ist (3;5). Bis heute gelang es nicht, nachzuweisen, dass tatsächlich unendlich viele Primzahlzwillinge existieren.

Primzahlvierlinge

Ausschließlich Primzahlvierlinge erscheinen in der Tabelle. Unter einem Primzahlvierling versteht man ein Quadrupel von Primzahlen, welche die Abstände 2, 4 und 2 aufweisen, d.h., ein Primzahlvierling tritt innerhalb eines Zehners auf, bei dem die auf 1, 3, 7 und 9 endenden Zahlen gleichzeitig prim sind – Ausnahme ist der Primzahlvierer 5, 7, 11 und 13. Bis heute ist nicht sicher, ob ein größter Vierling existiert.

Setzt man die Konstruktion Primzahl-Zwilling-Vierling fort und fragt nach dem kleinsten Abstand zweier Primzahlvierlinge, so lässt sich leicht nachweisen, dass dieser mindestens 30 sein muss. Der kleinste Primzahlachter existiert für
1006301; 1006303; 1006307; 1006309; 1006331; 1006333; 1006337; 1006339
Interessant ist, dass zwischen 1006300 und 1006340 keine anderen Primzahlen liegen. Für den nächsten „Achter“
2594951; 2594953; 2594957; 2594959; 2594981; 2594983; 2594987; 2594989
findet man dazwischen die Primzahl 2594971.

Doppelprimzahl-Zwilling

In der Liste werden sogenannte Primzahlzwillinge angezeigt. Darunter versteht man zwei Paare von primen Zwillingen der Form z – 1, z + 1, 2z – 1 und 2z + 1.

Umkehrbare Primzahlen

Umkehrbare Primzahlen sind Primzahlen deren umgekehrte Ziffernfolge erneut eine Primzahl bilden. Zum Beispiel ist 13 umkehrbar, da auch 31 Primzahl ist. Die ersten Zahlen dieser Art größer 10 sind 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 101, 107, 113, 131, 149, 151, 157, 167, 179, 181, 191, 199, …
Eine besondere Art sind Palindrom-Primzahlen, d.h. prime Zahlen, deren Wert sich nicht ändert, wenn sie von hinten nach vorn gelesen werden. Die ersten derartigen Zahlen sind 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, …
Da jede Palindrom-Zahl mit einer geraden Anzahl von Ziffern durch 11 teilbar ist, existiert nur eine Palindrom-Primzahl mit gerader Stellenzahl, die 11.

Gute Primzahlen

Hier wird eine sehr spezielle Art von Primzahlen gesucht.
Eine Primzahl wird als „gut“ bezeichnet, wenn ihr Quadrat größer ist als das Produkt der vorhergehenden und der nachfolgenden Primzahl.

Sophie-Germain-Primzahlen

In dieser Routine werden ausschließlich Sophie-Germain-Primzahlen der 1. und 2.Art berechnet. Bei Wahl des 2.Auswahlfeldes werden Primzahlen der 2.Art ermittelt, d.h. die, für die 2p-1 ebenfalls Primzahl ist.

Primzahlen der Form 4n + 1

Primzahlen der Form p = 4n + 1 besitzen besondere Eigenschaften. U.a. können diese nach einem Satz von Fermat eindeutig in die Summe zweier Quadratzahlen zerlegt werden. Das Programm zeigt bei Aktivierung dieses Schalters nur derartige prime Zahlen mit deren Zerlegung an.
Beispiel: 233 = 82 + 132 oder 190000241 = 104962 + 89352