Quadratische Ungleichungen

Quadratische UngleichungenQuadratische Ungleichungen der Form y > a x² + b x + c haben im Normalfall unendlich viele Paare reeller Zahlen als Lösung. Diese Lösungen können sehr schön grafisch veranschaulicht werden.

Dazu stellt man die Ungleichung als quadratische Funktion y = a x² + b x + c dar. Die Koordinaten aller Punkte der Koordinatenebene, die über der Parabel liegen, stellen dann Lösungen der Ungleichung dar.
Für die verschiedenen Relationszeichen gilt dann:

  • Zeichen „>“ … alle Punkte über der quadratischen Funktion
  • Zeichen „>=“ … alle Punkte über der quadratischen Funktion und die Punkte der Funktion
  • Zeichen „<“ … alle Punkte unterhalb der quadratischen Funktion
  • Zeichen „<=“ … alle Punkte unterhalb der quadratischen Funktion und die Punkte der Funktion

erfüllen die Ungleichung.
Betrachtet man nun mehrere Ungleichungen gleichzeitig, d.h. ein System von Ungleichungen, so überlappen sich die Lösungsmengen.

In der grafischen Darstellung entspricht die rote Parabel der 1. Ungleichung und die blaue der zweiten. Aufgrund der Relationszeichen müssen dann Lösungen des Ungleichungssystems oberhalb bzw. unterhalb der roten und blauen Parabel liegen.
Interessiert man sich ausschließlich für ganzzahlige Lösungen (markiertes Feld natürliche Lösungspaare anzeigen), so zeichnet das Programm die Punkte mit ganzzahligen Koordinaten als gelbe Punkte ein.

In diesem Programmteil können Sie maximal zwei quadratische Ungleichungen festlegen. Dazu schalten Sie die Markierung bei Parabel 1 bis 2 zu bzw. ab. Die Parameter der Ungleichung, die Koeffizienten a, b und c stellen Sie an je drei Rollbalken ein. Klicken Sie auf ein Relationszeichen einer Ungleichung, so wird dieses von kleiner-gleich auf größer-gleich umgeschaltet bzw. umgekehrt.

Das Programm stellt sofort die quadratischen Funktionen dar und markiert den Lösungsbereich (Markierung: farbige Lösungsmenge). Haben Sie mehrere Ungleichungen ausgewählt, erhalten Sie Darstellungen wie oben gezeigt.
Die Größe des Koordinatensystems können Sie ebenfalls an einem Rollbalken verändern.