Sangaku-Probleme

SangakuDas Sangaku-Problem aus dem Jahre 1803 ist dem der Archimedischen Kreise ähnlich.

Gegeben ist ein Halbkreis, in den ein Kreis mit dem Durchmesser AF eingezeichnet wird. FBC ist weiterhin ein gleichschenkliges Dreieck, das den Kreis berührt. Gesucht ist nun ein Kreis, der Sangaku-Kreis, der sowohl den Kreis AF als auch das Dreieck berührt und sich innerhalb des Ausgangshalbkreises befindet.

Wird der Durchmesser AB mit 1 und AF = r mit 0 < r < 1 angenommen, so gilt, da MF senkrecht zu AB steht, dass der Radius des Sangaku-Kreises gleich

    \[ \frac{r(1-r)}{1+r} \]

Der Punkt MF liegt dann r \frac{2-2r}{1+r} über dem Durchmesser AB.

In diesem Teilprogramm können Sie wieder den Fußpunkt F und die Punkte A und B des Durchmessers mit der Maus verschieben. Auch hier zeichnet das Programm den gesuchten Kreis sofort wieder neu.

Anmerkung: Der Nachweis, dass MF tatsächlich senkrecht auf AF steht, ist auf keinen Fall trivial, sondern erfordert intensive Überlegungen!

Sangaku-Problem 2 und 3

Markieren Sie Problem 2, so wird eine zweite Aufgabe aus der japanischen Tempel-Geometrie dargestellt.

Gesucht sind drei verschieden große Kreise, die einander jeweils paarweise in einem Punkt berühren und die eine gemeinsame Tangente besitzen. Für die Radien gilt dann

    \[ \frac{1}{\sqrt{r_3}}=\frac{1}{\sqrt{r_1}}+\frac{1}{\sqrt{r_2}} \]

Dieses Problem kann nun auf den linken und mittleren Kreis wieder bezogen werden usw., sodass weitere Kreise eingezeichnet werden können.
In diesem Teilprogramm stellen Sie die Lage der Kreise durch Verschieben von A und B ein, die Größe des ersten Kreises durch Verschieben des Punktes C.

Im 3. Sangaku-Problem wird ein Kreis gesucht, der wieder Kreis A und Kreis B tangiert, aber zusätzlich eine weitere Gerade berührt.

Sangaku 4Sangaku-Problem 4: Quadrate im rechtwinkligen Dreieck

In jedes rechtwinklige Dreieck mit den Katheten a, b und der Hypotenuse c kann eine Folge von Quadraten und Kreisen eingeschrieben werden, sodass die Quadrate abwechselnd mit der Hypotenuse und einer Kathete eine Seite gemeinsam haben und die anderen beiden Quadratpunkte auf den anderen Seiten liegen.

Wählen Sie Problem 4, so können Sie diese Folge von Quadraten und Kreisen zeichnen. Die Gestalt des Dreiecks ändern Sie durch Verschieben der Punkte A, B und F.

Sangaku-Problem 5: Kreispackung

Gegeben ist ein Kreis K mit dem Radius R. In diesen werden n gleichgroße Kreise (n > 2), so eingeschrieben, dass sie K von innen und jeweils zwei dieser Kreise sich gegenseitig berühren.

Dann kann in das Innere von K ein weiterer Kreis so eingefügt werden, dass er die anderen Kreise tangiert. Gesucht sind hier die Radien der Kreise.
Allgemein gilt:

Zentralkreis r=R\frac{1-\sin{\frac{\pi}{n}}}{1+\sin{\frac{\pi}{n}}}
Tangentialkreise \rho =\frac{R-r}{2}

In diesem Programmteil werden je nach Festlegung von n diese Kreise gezeichnet.