Seil-Paradoxon

Eine berühmte Aufgabe, das Seil-Paradoxon, mit einer verblüffenden Lösung, ist:

Man spannt ein Seil ganz straff um die Erde und verlängert es um 1 Meter. Wie weit kann das Seil dann in einer Richtung nach oben gezogen werden?

Seil-ParadoxonDas Seil tangiert im Punkt P die Erdkugel. Damit ist die Strecke vom Mittelpunkt M nach P senkrecht zum Seilstück Y und das entsprechende Dreieck ist rechtwinklig. Aus dem Satz des Pythagoras folgt:

    \[ Y=\sqrt{(R+h)^2-R^2) \]

Außerdem hat der zugehörige Kreissektor A die Bogenlänge

    \[ b=R \arccos{\frac{R}{R+h}} \]

Da das Seil genau 1 Meter länger als der Erdumfang ist, gilt

    \[ Y-\frac{1}{2}=b \]

und damit die allgemeine Lösung mit einer Seilverlängerung um a für die erreichbare Höhe h:

    \[ \sqrt{(R+h)^2-R^2}-\frac{a}{2}=R\cdot \arccos{\frac{R}{R+h}} \]

Die Gleichung ist analytisch nicht auflösbar. Mit einem Näherungsverfahren ergibt sich für die Erde (R=6378 km) eine Höhe h = 121,505 m !!!
Weitere Höhen h sind für weitere Radien:

Radius Höhe in m Radius Höhe in m
1 m 0,78 2 m 0,93
10 m 1,47 100 m 3,07
1 km 6,56 10 km 14,11
100 km 30,12 1000 km 65,52
10000 km 141,16 100000 km 304,11
1 Million km 655,19 10 Million km 1411,55

Es ist paradox. Es vergrößert sich die maximal erreichbare Höhe, wenn der Radius der umschlossenen Kugel größer wird.

Delphi-Quelltext zur näherungsweisen Lösung der Gleichung:

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
const r=6378000.0; //hier Radius eingeben
var x,dx:extended;
function funktion(x:extended):extended;
begin
 result:=1/2+r*arccos(r/(r+x))-sqrt(sqr(r+x)-sqr(r));
end;
begin
  x:=1;
  dx:=1;
  repeat
    dx:=0.01*funktion(x)/(funktion(x+0.01)-funktion(x));
    x:=x-dx;
    listbox1.items.add(floattostr(x)+#9+floattostr(funktion(x)));
  until abs(funktion(x))<1e-6;
end;

Anmerkung: Für ein Quadrat mit dem Umfang der Erde (40000 km) führt die gleiche Aufgabenstellung zu einer Seilhöhe von rund √5 km über einer der Quadratseiten !!!

f25cWeitere Lösungsmöglichkeit

Durch Hans-Jürgen Caspar wurde auf „Matroids Matheplanet“ eine sehr schöne, alternative Lösung ohne Verwendung eines Programms zur Bestimmung der Näherungslösung vorgeschlagen. Für die Höhe h wird

    \[ h = \sqrt{R^2+Y^2}-R \quad (*) \]

Für den Kreisbogen zwischen den Tangentialpunkten ergibt sich

    \[ b_o=2R \cdot \arctan{\frac{Y}{R}} \]

für den verbleibenden, unteren Kreisbogen

    \[ b_u=2\pi r - 2R \cdot \arctan{\frac{Y}{R}} \]

Die Gesamtseillänge ist

    \[ l=2\pi r - 2R \cdot \arctan{\frac{Y}{R}}+2Y = 2\pi r +1m \]

und da 1 m länger als der Umfang der Kugel, somit

    \[ Y-R \cdot \arctan{\frac{Y}{R}} = 0,5m \]

Anwendung der Taylorreihe für den Arkustangens bis zur 2.Näherung ergibt

    \[ Y-R(\frac{Y}{R} -\frac{Y^3}{3R^3}) = 0,5m \]

    \[ Y^3=\frac{3}{2}R^2 \cdot 1m \]

Damit kann aus dem Radius das Tangentialstück Y und anschließend über (*) die Höhe berechnet werden.


Seil-Paradoxon 2Die einfachere Aufgabe, da mit Schulmathematik lösbar, ist:

Wie weit steht das Seil ab, wenn es überall gleichweit von der Äquatorlinie entfernt sein soll? Passt unter dem Seil eine Maus durch?

Aus u = 2\pi r wird u+1 = 2\pi (r+h), d.h. 1 = 2\pi h und somit eine Höhe von rund 16 cm.
Da passt auch eine Katze durch!