Statistische Auswertung

“There are three kinds of lies: lies, damned lies, and statistics.“
Benjamin Disraeli (1804-1881)

Statistische AuswertungLiegt Ihnen eine Menge reeller Zahlen vor, zufällig erzeugt oder zum Beispiel Messwerte eines physikalischen Experiments, so können Sie diese in diesem Unterprogramm statistisch untersuchen.

Bis zu 120 Messwerte – rationale Zahlen – x[i] können Sie von links oben nach rechts unten in die Felder der Tabelle eingegeben. Zwischen den Feldern schalten Sie mit der TAB-Taste weiter. Das erste leere Feld wird vom Programm als Ende-Markierung betrachtet, auch wenn danach weitere Zahlen folgen.

Dabei erfolgt die Abfrage der eingegebenen Werte zeilenweise, d.h. zuerst von links nach rechts in der 1. Zeile, danach von links nach rechts in der zweiten Zeile usw. Nach Betätigung des Schalters Auswertung werden folgende statistische Auswertungen durchgeführt:

  • Bestimmung der Anzahl n der eingegebenen Zahlenwerte, d.h., die Anzahl der gültigen Eingabewerte wird bestimmt. Sollte diese Zahl nicht mit den von Ihnen eingetragenen Werten übereinstimmen, kontrollieren Sie, ob nicht ein leeres Feld innerhalb der Zahlenmenge auftritt.
  • Ermittlung des Minimums bzw. Maximums, d.h., der kleinste und größte Wert werden ermittelt.
  • Berechnung des arithmetischen und geometrischen Mittels. Das arithmetische Mittel bildet gleichzeitig den sogenannten Erwartungswert m Ihrer statistischen Verteilung. Außerdem existiert das geometrische Mittel nur, wenn das Produkt aller eingegebenen Werte größer gleich Null ist.
  • Berechnung des quadratischen Mittels.
  • Berechnung des harmonischen Mittels. Ist ein Element gleich 0, dann ist das harmonische Mittel nicht berechenbar.
  • Berechnung des Medians (Zentralwertes) Z der Zahlenmenge. Das Programm sortiert dabei intern die eingegebenen Zahlen. Ist die Anzahl n ungerade, so ist der Median der mittelste Wert, also Z=a_{\frac{n-1}{2}}+1, ist die Anzahl gerade, wird der Zentralwert als arithmetisches Mittel der beiden mittleren Werte berechnet: Z=\frac{1}{2}(a_{\frac{n}{2}}+a_{\frac{n}{2}+1}).
  • Berechnung der Standardabweichung, der Varianz und des Variationskoeffizienten. Die Standardabweichung, auch quadratische Streuung oder mittlere quadratische Abweichung genannt, repräsentiert einen Wert, der die durchschnittliche Abweichung der Messwerte vom Erwartungswert µ angibt. Nach dem Satz von Tschebyschow beträgt zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Werte im Intervall ] \mu-2\sigam; \mu+2\sigma[ liegt, mindestens 75%. Die Standardabweichung σ ist die Quadratwurzel der Varianz unserer Verteilung. Im Programm wird die Varianz nach der Gleichung

        \[ s^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i-x_m)^2 \]

  • Berechnung der mittleren Abweichung, d.h. der durchschnittlichen Abweichung (Betrag) zum Mittelwert.
  • Berechnung des arithmetischen Mittels ohne den kleinsten Wert (minimaler Ausreißer) bzw. ohne den größten Wert (maximaler Ausreißer) sowie ohne beide Ausreißer.

Beispiel: Es wurden 26 Messwerte einer Größe eingegeben.

1 1.3 2 1.8 1.7 2 3.1 1.4 1.7 1.8 2.2 1.4 1.4
1.5 2.1 2 1.5 1.6 2 1.7 1.4 1.34 2.3 1.8 1.6 2.1

Mit diesen Werten erhalten Sie als Ergebnisse: Anzahl = 26, Maximum = 3.1, Minimum = 1, Median = 1.7, Mittelwert = 1.75923, Geometrisches Mittel = 1.71445, Harmonisches Mittel = 1.67185, Quadratisches Mittel = 1.80699, Standardabweichung = 0.42087, Varianz = 0.17714, Stichprobenvarianz = 0.17032, Variationskoeffizient= 0.10069

Sofort nach der Berechnung erhalten Sie eine Vorschaugrafik. Wählen Sie nun den Schalter Darstellung, wird ein zugehöriges Histogramm gezeichnet. Hierbei werden die Zahlen in Klassen eingeteilt. Die Klassenbreite beträgt voreingestellt 1, kann aber von Ihnen geändert werden.

DiagrammIn unserem Beispiel erhalten Sie bei einer Klassenbreite von 1 dieses Histogramm:

Zusätzlich zum Diagramm erscheint optional eine Dichtekurve einer Gaußschen Normalverteilung mit dem berechneten Mittelwert und der Varianz. Auf der Abszissenachse werden der Erwartungswert und die Differenz µ – σ sowie die Summe µ + σ der Standardabweichung bezüglich des Mittelwertes durch kleine Kreise markiert.

Beachten Sie bitte: Die grafische Darstellung ermöglicht maximal ein Abszissenintervall von 600 Einheiten Breite. Deshalb sollten Sie vermeiden, Werte größer 100 einzugeben. Zu untersuchende Zahlen, wie etwa 123, 234, 146 usw., dividieren Sie z.B. mit 100 und werten 1.23, 2.34, 1.46 usw. aus. Den berechneten Mittelwert oder Median multiplizieren Sie dann mit 100. Standardabweichung und Varianz werden exakt angegeben.