Stetige Verteilungen

Stetige VerteilungenNeben diskreten Verteilungen sind stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, d.h. stetige Verteilungen, bei denen die Zufallsgröße kontinuierlich jeden Wert eines Intervalls reeller Zahlen annehmen kann, von größtem Interesse. Das Programm beinhaltet unter diesem Punkt sechs derartige Verteilungen, für die Sie die Verteilungsfunktion (Exponential-, Maxwell-, Beta-, Gamma- und Weibull-Verteilung) und zusätzlich für die vier Statistik-Testverteilungen (Normierte Gaußverteilung, Student-t-Verteilung, F-Verteilung und χ²-Verteilung) Quantile für Irrtumswahrscheinlichkeiten berechnen können.

Exponentialverteilung

Eine Zufallsgröße heißt exponentialverteilt, wenn sie folgende Dichtefunktion hat:

    \[ f(x)=\lambda e^{-\lambda x} \]

für alle x größer gleich 0 und den Wert 0 für alle negativen x. Der Wert λ ist der Parameter der Verteilung und stets positiv. Aufgrund des negativen Exponenten sinkt der Wert von f(x) mit zunehmendem Argument x.

Zum Beispiel kann die Lebensdauer von Glühlampen als exponentialverteilt angesehen werden. Nach Eingabe des Parameters und Festlegung der Tabellenwerte (Anfangswert, Endwert und Schrittweite) ermittelt das Programm die Dichte dieser Verteilung.

Maxwell-Verteilung

Die Dichte der Maxwell-Verteilung wird durch

    \[ f(x)=\frac{2x^2}{\sigma \sqrt[3]{2\pi}}\cdot e^{\frac{-x^2}{2\sigma ^2}} \]

angegeben, wobei σ der Parameter der Verteilung ist. Diese Verteilung spielt innerhalb der Physik eine sehr wichtige Rolle, zum Beispiel bei der Beschreibung der Ortsverteilung von Gasmolekülen in einem abgeschlossenen Volumen.

Eine Zufallsgröße X, die Maxwell-verteilt ist, kann in der Form X =\sigma \sqrt{Y} dargestellt werden, wobei nun Y eine χ²-verteilte Zufallsgröße mit drei Freiheitsgraden ist. Das Programm ermittelt erneut zu jedem eingegebenen Parameter die Dichtefunktionswerte.

Student-t-Verteilung

Innerhalb der mathematischen Statistik erfüllt die Student-t-Verteilung eine fundamentale Rolle, insbesondere bei einem t-Test zur Überprüfung statistischer Hypothesen. Diese Verteilung wurde 1907 von William S. Gosset (Pseudonym: Student) gefunden. Eine Zufallsgröße X ist t-verteilt mit n Freiheitsgraden, wenn ihre Dichtefunktion die Form

    \[ f(x)=\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2}) \sqrt{n\pi}}\cdot (1+\frac{x^2}{n})^{\frac{-n+1}{2}} \]

hat, wobei Γ(x) die Eulersche Gammafunktion ist.

Für ganzzahlige Argumente x = k + 1 stimmt die Gamma-Funktion mit k! überein. Durch Gauß wurde die Definition auch auf nichtganzzahlige negative reelle Zahlen erweitert. Mit der Syntax GAMMA(X) ist die Gamma-Funktion im Programm nutzbar, sodass Sie deren Graph sowie umfangreiche Wertetabellen berechnen können.

Liegt nun ein statistisches Problem der Art:
Aus der Untersuchung von n = 49 Proben eines Werkstoffes stellt man den Anteil eines chemischen Elements mit x = 2,4% bei einer Varianz von s² = 0.4 fest. Der Sollwert beträgt dagegen m = 3%.
Frage: Ist diese Abweichung zufällig?
vor, so bedarf es mathematischer Tests.

Für kleine Stichproben oder Aufgaben, bei denen der Mittelwert oder die Varianz geschätzt werden müssen, ist die Gaußsche Normalverteilung nicht mehr anwendbar, da der Stichprobenumfang dort nicht in die Rechnung mit einfließt. Dies geschieht bei der Student-t-Verteilung, welche die Größe der Stichprobe berücksichtigt. Strebt n gegen unendlich, geht die t-Verteilung in die Gaußsche Normalverteilung über.

Insbesondere fragt man nach einer von einer Irrtumswahrscheinlichkeit α abhängigen Quantile der Verteilung. Ist X eine Zufallsgröße, f(x) deren Verteilungs- und F(x) deren Dichtefunktion (die Fläche unter f(x) von minus Unendlich bzw. 0 bis x) sowie p eine reelle Zahl des Intervalls [0;1], so heißt jede Zahl Qp mit F(Qp) ≤ p ein p-Quantil. Ist z.B. p = 0.95, so gibt Qp das Argument an, für welches der linke Teil der Fläche unter der Funktion f(x) genau 95% der Gesamtfläche entspricht.
Rechts von Qp befindet sich 5% der Gesamtfläche, d.h., die Zufallsgröße X nimmt nur mit 5% Wahrscheinlichkeit Werte größer als Qp an.

IrrtumErgibt nun der statistische Test einen Testparameter t und ist dieser kleiner als das zu einer Irrtumswahrscheinlichkeit α = 1 – p gehörende Quantil Qp, so kann man mit der Wahrscheinlichkeit α schlussfolgern, dass Abweichungen der Testgröße zufälliger Natur sind. Dabei ist zu beachten, dass natürlich sogenannte Fehler 1. und 2. Art auftreten können.

Das Programm ermittelt nach Eingabe der Freiheitsgrade n (n – 1 für den t-Test) für die Student-t-Verteilung alle Quantile der Irrtumswahrscheinlichkeiten 0.99 bis 0.01. Für den t-Test ist die Testgröße nach

    \[ t=\frac{|x - \mu|}{s}\sqrt{n} \]

zu ermitteln und mit den Tabellenwerten zu vergleichen.

Für das oben genannte Beispiel erhalten Sie t = 6,6. Für eine Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.05 und f = n – 1 = 48 Freiheitsgraden ergibt die Tabelle ein Quantil von 2.010. Da t größer ist, muss die Annahme einer zufälligen Abweichung verworfen werden. Die Stichprobe des Werkstoffes besitzt signifikante (wesentliche) Unterschiede zum Sollwert.

Die Berechnung der Tabelle der Quantile ist sehr aufwendig. Wählen Sie Dezimale = 3 als Genauigkeit, kann sich die Rechenzeit vervielfachen. Ein Abbruch ist durch Betätigung einer beliebigen Taste möglich. Insgesamt können Sie zwei bis sechs Dezimalstellen als Genauigkeit wählen. Ausnahme: Für 1 und 2 Freiheitsgrade berechnen sehr schnelle und genaue Näherungsroutinen die Quantil-Tabelle auf fünf Kommastellen.

F-Verteilung

Eine weitere, für die Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung bedeutsame Verteilung bildet die F-Verteilung (Fisher-Verteilung). Diese Verteilung besitzt zwei Parameter m und n von Freiheitsgraden und ist definiert mit

    \[ f(x) = a^a b^b\cdot \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) \GammaΓ(b)}\cdot \frac{x^{a-1}}{(ax+b)^{a+b}} \]

wobei a =\frac{m}{2} und b =\frac{n}{2} zu setzen ist. Insbesondere für statistische Tests ist diese Verteilung wichtig. Das Programm ermittelt je nach Freiheitsgraden m und n die Dichtefunktion.

Chi²-Verteilung

Im Zusammenhang mit der Gaußschen Fehlertheorie untersuchte der deutsche Astronom Helmert Quadratsummen von Größen, die normalverteilt sind. Die dabei auftretende stetige Verteilungsfunktion nannte Pearson χ²-Verteilung.

Diese besitzt ebenfalls fundamentale Bedeutung für statistische Tests. Deren Dichtefunktion

    \[ f(x) = \frac{ x^{\frac{n}{2}-1}\cdot e^{\frac{-x}{2}} } { 2^{\frac{n}{2}} {\Gamma(\frac{n}{2})}} \]

ist wie die t-Verteilung vom Freiheitsgrad n, die Verteilungsfunktion zusätzlich von der Irrtumswahrscheinlichkeit α abhängig.

Während zum Test von Mittelwerten zweier Stichproben der t-Test über die Student-t-Verteilung herangezogen wird, nutzt man den χ²-Test zum Prüfen zweier Verteilungen.

Beispiel: Von 80 gefertigten Werkstücken werden ein Merkmal gemessen (siehe nachfolgende Tabelle), die Maße in Klassen eingeteilt und deren Häufigkeiten hi berechnet. Vermuten Sie eine vorliegende Normalverteilung, ermitteln Sie mittels Gaußverteilung zu jeder Klasse die theoretische Häufigkeit ki. Die Testgröße berechnet sich nun zu

    \[ \chi ^2=\frac{(h_1 - k_1)^2}{k_1} +\frac{(h_2 - k_2)^2}{k_2}+...+\frac{(h_n - k_n)^2}{k_n} \]

wobei k die Klassenzahl darstellt und der Freiheitsgrad f auf k – m – 1 zu setzen ist. Dabei ist m die Anzahl der geschätzten Parameter. Für das Beispiel erhält man:

hi 11 13 25 16 15
ki 10.1 16.5 22.1 18.4 12.4

und damit für χ² den Wert 2.06. Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit α von 0.05 und 2 Freiheitsgraden ermittelt das Programm ein Quantil von 5.99. Die Hypothese einer Normalverteilung der Werkstücke kann angenommen werden. Möchten Sie die Berechnung der theoretischen Häufigkeiten lieber vollständig dem Programm überlassen, so nutzen Sie das Unterprogramm Verteilungstest.
Für n = 2 geht die χ²- Verteilung in die Exponentialverteilung über.

Normierte Gaußverteilung

Zur Realisierung von Konfidenzabschätzungen bietet das Programm die Möglichkeit, für die normierte Gaußsche Normalverteilung Quantile (Konfidenzintervalle) zu berechnen. Dabei sind der Mittelwert auf μ = 0 und zusätzlich für die Berechnung der Quantile die Varianz auf σ² = 1 festgeschrieben. Die Quantile werden unabhängig von der eingegebenen Stellenzahl stets auf 6 Dezimale mit einer Schrittweite von 0.001 berechnet.

Beispiel: X sei eine normalverteilte Zufallsgröße, n der Stichprobenumfang, m der Mittelwert und s die Standardabweichung. Für eine Irrtumswahrscheinlichkeit entnehmen Sie aus der vom Programm errechneten Tabelle den Wert λ zu 1.960. Mit der Gleichung

    \[ \lambda =\lambda(\alpha) \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

erhalten Sie für λ = 0.735, womit der Parameter m mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% im Intervall μ – 0.735 < m < μ + 0.735 liegt. Darüber hinaus können Sie Konfidenzintervalle in dem Teilprogramm Konfidenzintervall berechnen lassen.

Weibull-Verteilung

Eine Zufallsgröße heißt Weibull-verteilt mit den Parametern a und b, wenn sie eine Dichte der Form

    \[ f(x) = ab\cdot x^{b-1} e^{-ax^b} \]

für alle x größer gleich 0, und 0 für alle negativen x, hat. Beide Parameter a und b müssen stets positiv sein. Als Spezialfall ergibt sich für den Parameter b = 1 die Exponentialverteilung.

Insbesondere für komplexere Systeme beschreibt die Weibull-Verteilung die Lebensdauer elektronischer Systeme und deren Ausfallwahrscheinlichkeiten. Nach Eingabe der Parameter und Festlegung der Tabellenwerte (Anfangswert, Endwert und Schrittweite) ermittelt das Programm die Dichte dieser Verteilung.

Stetige Verteilungen

Je nach Wahl des Schaltfeldes Dichtefunktion bzw. Quantile werden die Tabellenwerte nach Quittierung mit der RETURN-Taste bzw. dem Schalter Berechnung ermittelt. Möchten Sie den prinzipiellen grafischen Verlauf der Dichtefunktion erhalten, betätigen Sie Darstellung. Beachten Sie bitte, dass je nach Verteilungsfunktion das Darstellungsintervall von Ihnen eingestellt werden muss.